Supòsit 1

Un supòsit clàssic de mecànica que integra la dinàmica de la partícula (segona llei de Newton amb fregament) i el balanç d'energia. Permet discutir el paper del fregament com a força no conservativa i una concepció alternativa freqüent de l'alumnat: creure que un cos llançat cap amunt per un pla sempre rellisca de tornada.

Enunciat

Un bloc de massa $m = 2{,}0\ \mathrm{kg}$ es llança cap amunt per un pla inclinat que forma un angle $\theta = 30^\circ$ amb l'horitzontal, amb una velocitat inicial $v_0 = 6{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ des de la base. El coeficient de fregament entre el bloc i el pla és $\mu = 0{,}20$ (suposeu el mateix valor per al fregament estàtic i el cinètic). Preneu $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

Es demana:

• a) L'acceleració del bloc durant la pujada.
• b) La distància que recorre pel pla fins a aturar-se.
• c) Raonar si el bloc torna a baixar i, en cas afirmatiu, calcular la seua acceleració de baixada.
• d) La velocitat amb què torna a la base i l'energia dissipada pel fregament en tot el recorregut. Comprovar el resultat mitjançant un balanç d'energia.

Resolució

Anàlisi de forces

Sobre el bloc actuen el pes $m\vec{g}$, la normal $\vec{N}$ i la força de fregament $\vec{f}$. Projectant sobre uns eixos paral·lel i perpendicular al pla, la normal equilibra la component perpendicular del pes:

$$N = mg\cos\theta, \qquad f = \mu N = \mu mg\cos\theta$$

El fregament s'oposa sempre al moviment, de manera que canvia de sentit entre la pujada i la baixada; la component del pes al llarg del pla, $mg\sin\theta$, apunta sempre cap a la base.

a) Acceleració de pujada

Durant la pujada el bloc ascendeix, així que el fregament apunta cap avall del pla, en el mateix sentit que $mg\sin\theta$. La segona llei de Newton dona un frenat:

$$a_\text{sub} = g(\sin\theta + \mu\cos\theta) = 9{,}8\,(0{,}500 + 0{,}20\cdot 0{,}866) = 6{,}60\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

b) Distància fins a aturar-se

És un moviment uniformement decelerat; amb $v^2 = v_0^2 - 2\,a_\text{sub}\,d$ i condició final $v = 0$:

$$d = \frac{v_0^2}{2\,a_\text{sub}} = \frac{6{,}0^2}{2\cdot 6{,}60} = 2{,}73\ \mathrm{m}$$

c) Baixa? Acceleració de baixada

El bloc rellisca de tornada només si la component del pes supera el fregament estàtic màxim, és a dir, si $mg\sin\theta > \mu mg\cos\theta$, cosa que equival a $\tan\theta > \mu$. Com que $\tan 30^\circ = 0{,}58 > 0{,}20$, el bloc baixa.

Ara el bloc baixa, per tant el fregament apunta cap amunt del pla, oposant-se a $mg\sin\theta$:

$$a_\text{baj} = g(\sin\theta - \mu\cos\theta) = 9{,}8\,(0{,}500 - 0{,}20\cdot 0{,}866) = 3{,}20\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

d) Velocitat de tornada i energia dissipada

Partint del repòs i recorrent la mateixa distància $d$ de baixada:

$$v = \sqrt{2\,a_\text{baj}\,d} = \sqrt{2\cdot 3{,}20\cdot 2{,}73} = 4{,}18\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

Torna, doncs, amb menys velocitat que la de llançament: part de l'energia mecànica s'ha dissipat. El fregament actua sobre el recorregut total d'anada i tornada, $2d$:

$$W_\text{roz} = f\cdot 2d = \mu mg\cos\theta \cdot 2d = 0{,}20\cdot 2{,}0\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 \cdot 5{,}46 = 18{,}5\ \mathrm{J}$$

Comprovació per balanç d'energia. Com que el bloc parteix i torna a la base (mateixa altura), tota la variació d'energia cinètica es deu al treball del fregament:

$$\Delta E_c = \tfrac{1}{2}mv_0^2 - \tfrac{1}{2}mv^2 = 36{,}0 - 17{,}5 = 18{,}5\ \mathrm{J}$$

El resultat coincideix amb $W_\text{roz}$, cosa que valida els càlculs.

Comentari didàctic

Aquest supòsit connecta amb els temes de dinàmica (Tema 5) i energia (Tema 14) del temari. És idoni per a evidenciar dos aspectes: (1) que el fregament, en invertir el seu sentit, fa que les acceleracions de pujada i baixada siguen distintes, i (2) que el fregament és una força no conservativa el treball de la qual mesura directament l'energia mecànica perduda. La doble via de resolució —cinemàtica i energètica— permet a l'opositor mostrar domini d'ambdós enfocaments i proposar a l'alumnat la comprovació creuada com a estratègia d'autoavaluació.