Supòsit 59

Context. Institut d'una ciutat gran, tres línies d'ESO i dues de batxillerat, de complexitat alta. Grup de 2n d'ESO amb 29 alumnes; un alumne nouvingut de llengua materna no romànica i una alumna amb necessitats educatives especials derivades d'un trastorn de l'espectre de l'autisme (TEA). La PGA té l'estratègia 1.4 «Millora de la competència cientificotecnològica» i, dins d'aquesta, l'actuació 1.4.2 «Impuls i potenciació del treball experimental».

Qüestió prèvia 1 — Valoració redox del ferro amb permanganat

Enunciat

A la indústria farmacèutica és molt important l'anàlisi quantitativa del ferro que conté un comprimit multivitamínic. Es dissol el comprimit en àcid i es valora el catió ferro(II) amb una solució de permanganat de potassi de concentració coneguda. La reacció és:

$$\text{clorur de ferro(II)} + \text{permanganat de potassi} + \text{àcid clorhídric} \rightarrow$$ $$\rightarrow \text{clorur de manganès(II)} + \text{clorur de ferro(III)} + \text{clorur de potassi} + \text{aigua}$$

• a) (0,8p) Escriu la reacció molecular igualada pel mètode de l'ió-electró.
• b) (0,4p) Indica quin reactiu és l'oxidant i quin el reductor, justificant-ho.
• c) (0,5p) Justifica que la reacció és espontània en condicions estàndard i 25 ºC.
• d) (0,8p) Dissolem un comprimit de massa 105,0 mg amb una mica d'àcid. El valorem amb permanganat de potassi 0,0108 M i en necessitem 30,1 mL perquè la solució passi d'incolora a lila (punt final). Calcula el percentatge en massa de ferro del comprimit.

Dades: $A_r(\mathrm{Fe}) = 55{,}8$; $E^\circ(\ce{MnO4-}/\ce{Mn^2+}) = 1{,}51\ \mathrm{V}$; $E^\circ(\ce{Fe^3+}/\ce{Fe^2+}) = 0{,}77\ \mathrm{V}$.

Solució

a) Semireaccions per l'ió-electró en medi àcid:

$$\text{oxidació:}\quad \ce{Fe^2+ -> Fe^3+ + e-} \qquad(\times 5)$$ $$\text{reducció:}\quad \ce{MnO4- + 8 H+ + 5 e- -> Mn^2+ + 4 H2O}$$

Sumant i tornant a la forma molecular (els contraions són $\ce{Cl-}$ i $\ce{K+}$):

$$\ce{5 FeCl2 + KMnO4 + 8 HCl -> MnCl2 + 5 FeCl3 + KCl + 4 H2O}$$

(Comprovació de clorurs: $5\cdot 2 + 8 = 18$ a l'esquerra; $2 + 15 + 1 = 18$ a la dreta.)

b) El permanganat de potassi és l'oxidant: el manganès passa de +7 (en $\ce{MnO4-}$) a +2 (en $\ce{Mn^2+}$), es redueix, i per tant oxida l'altre. El clorur de ferro(II) és el reductor: el ferro passa de +2 a +3, s'oxida.

c) La força electromotriu estàndard de la reacció és

$$E^\circ_\text{reacció} = E^\circ_\text{càtode} - E^\circ_\text{ànode} = E^\circ(\ce{MnO4-}/\ce{Mn^2+}) - E^\circ(\ce{Fe^3+}/\ce{Fe^2+}) = 1{,}51 - 0{,}77 = +0{,}74\ \mathrm{V}$$

Com que $\Delta G^\circ = -nFE^\circ < 0$ (perquè $E^\circ > 0$), la reacció és espontània en condicions estàndard. El permanganat, amb potencial de reducció més alt, oxida el ferro(II).

d) Els mols de permanganat consumits són

$$n(\ce{MnO4-}) = 0{,}0108\cdot 0{,}0301 = 3{,}25\cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol}$$

Per l'estequiometria $5:1$ de la semireacció, $n(\ce{Fe^2+}) = 5\,n(\ce{MnO4-}) = 1{,}63\cdot 10^{-3}\ \mathrm{mol}$, i la massa de ferro:

$$m(\mathrm{Fe}) = 1{,}63\cdot 10^{-3}\cdot 55{,}8 = 0{,}0907\ \mathrm{g} = 90{,}7\ \mathrm{mg}$$ $$\%\,\mathrm{Fe} = \frac{90{,}7}{105{,}0}\cdot 100 = 86{,}4\ \%$$

(El percentatge surt molt alt per a un multivitamínic real —on el ferro sol ser un percentatge menut—; és un artefacte dels valors triats a l'enunciat. El mètode és el correcte.)

Qüestió prèvia 2 — Satèl·lit en òrbita circular

Enunciat

Un satèl·lit descriu una òrbita circular a 300 km de la superfície de la Terra a una velocitat de 7740 m/s. $R_T \approx 6400\ \mathrm{km}$; $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}s^{-2}}$; $g \approx 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$. (Considereu només el camp gravitatori de la Terra.)

• a) (0,4p) Temps que tarda a completar una òrbita.
• b) (0,8p) Mesura indirecta de la massa de la Terra a partir de l'altura i la velocitat.
• c) (0,5p) Acceleració de caiguda lliure d'un cos situat a la mateixa altura que el satèl·lit.
• d) (0,8p) A quina altura sobre la Terra hauria d'estar un cos per experimentar la mateixa acceleració de caiguda lliure que tindria a la superfície de Mart ($g_M \approx 3{,}7\ \mathrm{m/s^2}$)?

Solució

El radi de l'òrbita és $r = R_T + h = 6400 + 300 = 6700\ \mathrm{km} = 6{,}7\cdot 10^{6}\ \mathrm{m}$.

a) Període (longitud de l'òrbita entre velocitat):

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 6{,}7\cdot 10^{6}}{7740} = 5{,}44\cdot 10^{3}\ \mathrm{s} \approx 90{,}6\ \mathrm{min}$$

b) En una òrbita circular la gravetat aporta la força centrípeta, $\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}$, d'on

$$M = \frac{v^2 r}{G} = \frac{7740^2\cdot 6{,}7\cdot 10^{6}}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 6{,}0\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}$$

que coincideix molt bé amb el valor conegut de la massa de la Terra.

c) L'acceleració de caiguda lliure a aquella altura és la gravitatòria, $a = \dfrac{GM}{r^2} = \dfrac{v^2}{r}$:

$$a = \frac{7740^2}{6{,}7\cdot 10^{6}} = 8{,}94\ \mathrm{m/s^2}$$

Noteu que no és zero: el satèl·lit «cau» contínuament cap a la Terra amb 8,94 m/s²; la sensació d'ingravidesa és perquè cau lliurement, no perquè hi manqui gravetat.

d) Imposant $g(h) = g_0\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2 = 3{,}7\ \mathrm{m/s^2}$:

$$R_T + h = R_T\sqrt{\frac{g_0}{3{,}7}} = 6400\sqrt{\frac{9{,}8}{3{,}7}} = 6400\cdot 1{,}627 = 10416\ \mathrm{km}$$ $$h = 10416 - 6400 = 4{,}0\cdot 10^{3}\ \mathrm{km}$$

A uns 4016 km d'altura un cos sentiria la mateixa gravetat que a la superfície de Mart.

Situació d'aprenentatge (orientació)

El disseny didàctic és de resposta oberta i el tribunal valora la coherència i l'adequació al currículum vigent (Decret 175/2022 del currículum de l'ESO a Catalunya), no una solució única. El que segueix és una guia del que hauria de contenir una bona resposta, no una unitat tancada.

a) Sessió pràctica sobre transferència d'energia en forma de so (2,5p). Una proposta viable per a 2n d'ESO: estacions de treball on l'alumnat mesura i compara l'energia sonora (per exemple, tubs sonors o ampolles amb diferents nivells d'aigua, un diapasó sobre una caixa de ressonància, un sonòmetre d'app mòbil per mesurar nivell d'intensitat). Cal concretar: modalitat d'intervenció (treball cooperatiu en petits grups heterogenis), estratègia metodològica (indagació guiada: predir–observar–explicar), activitats i materials, i atenció a la diversitat ajustada als dos perfils del grup: per a l'alumne nouvingut, suport visual i vocabulari cientificotècnic il·lustrat i manipulatiu; per a l'alumna amb TEA, anticipació de la seqüència amb guions visuals, entorn sonor controlat (el so intens pot ser un estímul advers) i rols clars dins del grup.

b) Aprenentatges competencials (1p). Referenciar el currículum: competències específiques de l'àmbit cientificotecnològic (indagació, ús de models, comunicació científica), criteris d'avaluació associats, objectius d'aprenentatge concrets de la sessió (identificar el so com a transferència d'energia, relacionar amplitud/intensitat), competències transversals (digital, personal i social) i sabers vinculats a energia i ones.

c) Avaluació (1,5p). Avaluació competencial i formativa: instruments com una rúbrica del treball experimental, un full d'observació de l'indagació i una activitat d'aplicació final; combinar autoavaluació i coavaluació, i preveure evidències adaptades als dos perfils d'NEE.