Supòsit 58

Context. Curs 2023-2024, institut de secundària d'una població de l'àrea metropolitana, en un entorn industrial i prop d'un parc d'atraccions. El projecte educatiu fomenta situacions d'aprenentatge significatives basades en fer-pensar-desenvolupar i les competències del segle XXI. El professorat de l'àmbit cientificotecnològic ha fet formació al parc per conèixer el funcionament de les atraccions, i el departament organitza una sortida. El grup és de 30 alumnes: un alumne SIEI amb trets autistes, una alumna amb TDAH, un alumne nouvingut i més de la meitat amb situacions socioeconòmiques i socioculturals desfavorides.

Qüestió prèvia 1 — La vagoneta impulsada per una molla

Enunciat

Una de les atraccions que té més èxit és pujar a una vagoneta que, a partir del repòs, és impulsada una distància de 100 cm per un ressort horitzontal inicialment comprimit. La vagoneta puja fins a una altura de 10 m i, a partir d'aquí, baixa per un pla inclinat de 45° en què una força de fricció constant fa que arribi a 1,5 m/s just quan arriba a l'altura zero. La vagoneta té una massa total de 1.000 kg, la constant elàstica del ressort és $2{,}50\cdot 10^{5}$ N/m i suposem que sobre la vagoneta no hi actuen forces de fricció, ni mentre és impulsada ni mentre puja. La vagoneta va a parar a una piscina. Calculeu:

a) (1,25 p) La velocitat de la vagoneta just després que la molla la impulsi. b) (1,25 p) El mòdul de la força de fricció que fa que la vagoneta s'aturi.

Solució

a) Velocitat en sortir de la molla. Tota l'energia potencial elàstica emmagatzemada es converteix en cinètica, perquè el tram és horitzontal i sense fricció:

$$\tfrac{1}{2}k x^2 = \tfrac{1}{2}mv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = x\sqrt{\frac{k}{m}} = 1{,}00\sqrt{\frac{2{,}50\cdot 10^{5}}{1000}}$$ $$\boxed{v = 15{,}8\ \mathrm{m/s}} \qquad (E_e = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}50\cdot 10^{5}\cdot 1^2 = 1{,}25\cdot 10^{5}\ \mathrm{J})$$

Uns 57 km/h. Fixa't que la massa de 1.000 kg sí que hi intervé aquí, però el recorregut de 100 cm de la molla apareix elevat al quadrat: si la compressió fos la meitat, la velocitat també ho seria.

b) Força de fricció al pla inclinat. Convé plantejar el balanç d'energia d'extrem a extrem, i no tram a tram: la fricció només actua durant la baixada, i tant el punt inicial com el final estan a altura zero, de manera que el terme gravitatori s'elimina sencer.

$$E_e = \tfrac{1}{2}mv_f^2 + F_r L$$

La longitud del pla inclinat de 45° que salva un desnivell de 10 m és

$$L = \frac{h}{\sin 45°} = \frac{10}{0{,}7071} = 14{,}14\ \mathrm{m}$$

i l'energia cinètica final és $\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot 1{,}5^2 = 1125$ J. Per tant

$$F_r = \frac{1{,}25\cdot 10^{5} - 1125}{14{,}14} = \boxed{8{,}76\cdot 10^{3}\ \mathrm{N}}$$

Un detall que fa d'aquest plantejament el bo: el resultat no depèn del valor de $g$, perquè la gravetat no fa treball net entre dos punts a la mateixa altura. Això mateix serveix de comprovació.

Dues coses que convé dir explícitament.

1. La vagoneta no s'atura al cim. Amb $E_e = 1{,}25\cdot 10^{5}$ J i $mgh = 9{,}80\cdot 10^{4}$ J, en arribar als 10 m encara li queden $2{,}70\cdot 10^{4}$ J, és a dir $v_{\text{cim}} = 7{,}35$ m/s. L'enunciat diu que no hi ha fricció ni en l'impuls ni en la pujada, així que aquesta energia sobrant és inevitable: passa pel cim com una muntanya russa. Si algú suposa (incorrectament) que arriba al cim amb velocitat nul·la, obté $F_r = 6{,}85\cdot 10^{3}$ N, un 22 % menys.
2. El coeficient de fricció que se'n dedueix és estrany. De $F_r = \mu\,mg\cos 45°$ surt $\mu = 1{,}26$. Un coeficient superior a 1 no és impossible (silicona sobre vidre, sistemes de frenada), però en una vagoneta és inversemblant: les dades de l'enunciat estan triades per donar números rodons, no per ser realistes. La pregunta demana la força, no el coeficient, així que no afecta la resposta.

Catalunya 2024 · Cas 2, qüestió 1

Balanç d'energia de la vagoneta

Qüestió prèvia 2 — Química de l'aigua de les piscines

Enunciat

Per tal de preservar i aprofitar l'aigua, des del parc es duen a terme diferents mesures. Una d'elles, tenint en compte la situació de sequera a Catalunya, és que tot el volum d'aigua d'ús recreatiu o de les piscines es manté en un circuit tancat. Per mantenir les piscines en condicions acceptables per al bany es fan servir diferents productes químics.

a) (1,25 p) Així, per a eliminar-ne la matèria orgànica i els agents patògens es pot utilitzar hipoclorit de sodi. Si omplim una piscina amb 80 m³ d'aigua, quin seria el pH de la piscina si hi afegim 149 g d'hipoclorit de sodi? Suposeu que l'aigua era inicialment neutra i que el volum d'aigua es manté en afegir-hi la sal.

b) (1,25 p) Els alumnes observen la presència d'algues en alguns racons del llac que hi ha dins del parc. La docent els explica que per controlar el creixement de les algues es fan servir sals solubles de Cu(II) com ara el sulfat de coure(II), i els planteja el següent exercici. Si el pH del llac és 7,2 (valor recomanat), quina concentració màxima d'ions Cu(II) hi pot haver en l'aigua si volem evitar que es produeixi la precipitació de l'hidròxid de coure(II) en afegir-hi una sal soluble de coure(II)?

(Dades: temperatura sempre 25 °C. Masses atòmiques relatives O = 16,0; Na = 23,0; Cl = 35,5. Constant de basicitat de l'ió hipoclorit (25 °C): $K_b = 3{,}3\cdot 10^{-7}$. Constant d'ionització de l'aigua a 25 °C: $K_w = 1{,}0\cdot 10^{-14}$. Constant del producte de solubilitat de l'hidròxid de coure(II) a 25 °C: $K_{ps} = 6{,}0\cdot 10^{-20}$)

Solució

a) pH de la piscina. Massa molar de l'hipoclorit de sodi: $M(\ce{NaClO}) = 23{,}0 + 35{,}5 + 16{,}0 = 74{,}5$ g/mol. Per tant

$$n = \frac{149}{74{,}5} = 2{,}00\ \mathrm{mol}, \qquad V = 80\ \mathrm{m^3} = 8{,}0\cdot 10^{4}\ \mathrm{L}$$ $$c_0 = \frac{2{,}00}{8{,}0\cdot 10^{4}} = 2{,}50\cdot 10^{-5}\ \mathrm{M}$$

El $\ce{NaClO}$ és una sal que es dissocia totalment; el $\ce{Na+}$ és un catió espectador i el $\ce{ClO-}$ és la base conjugada de l'àcid feble hipoclorós, de manera que s'hidrolitza:

$$\ce{ClO- + H2O <=> HClO + OH-}, \qquad K_b = \frac{[\ce{HClO}][\ce{OH-}]}{[\ce{ClO-}]} = 3{,}3\cdot 10^{-7}$$

Ací hi ha la trampa del problema. La dissolució és tan diluïda que no es pot fer l'aproximació habitual $c_0 - x \approx c_0$: cal resoldre la quadràtica sencera.

$$\frac{x^2}{2{,}50\cdot 10^{-5} - x} = 3{,}3\cdot 10^{-7} \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 3{,}3\cdot 10^{-7}x - 8{,}25\cdot 10^{-12} = 0$$ $$[\ce{OH-}] = x = 2{,}71\cdot 10^{-6}\ \mathrm{M}$$ $$\mathrm{pOH} = 5{,}57 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\mathrm{pH} = 8{,}43}$$

El grau d'hidròlisi és $2{,}71\cdot 10^{-6}/2{,}50\cdot 10^{-5} = 10{,}8\ \%$, molt lluny del 5 % que es pren com a llindar per aproximar; qui aproxima obté $[\ce{OH-}] = 2{,}87\cdot 10^{-6}$ i pH = 8,46. La diferència és petita en pH, però el raonament sí que compta. En canvi, l'autoionització de l'aigua sí que es pot ignorar: aporta un $[\ce{H+}] = 3{,}7\cdot 10^{-9}$ M, tres ordres de magnitud per sota de $[\ce{OH-}]$.

El resultat té sentit pràctic: pH 8,43 és massa alt per a una piscina (l'interval recomanat és 7,2-7,6), i per això als vasos reals es corregeix amb un àcid. A pH alt l'equilibri $\ce{HClO <=> H+ + ClO-}$ es desplaça cap al $\ce{ClO-}$, que desinfecta molt pitjor que el $\ce{HClO}$: el clor «lliure» hi és, però no fa la feina.

b) Concentració màxima de Cu(II). A pH 7,2:

$$\mathrm{pOH} = 14 - 7{,}2 = 6{,}8 \quad\Longrightarrow\quad [\ce{OH-}] = 10^{-6{,}8} = 1{,}58\cdot 10^{-7}\ \mathrm{M}$$

La precipitació de $\ce{Cu(OH)2}$ comença just quan el producte iònic iguala el producte de solubilitat, $Q = K_{ps}$:

$$K_{ps} = [\ce{Cu^2+}][\ce{OH-}]^2 = 6{,}0\cdot 10^{-20}$$ $$[\ce{Cu^2+}]_{\max} = \frac{6{,}0\cdot 10^{-20}}{(1{,}58\cdot 10^{-7})^2} = \boxed{2{,}4\cdot 10^{-6}\ \mathrm{M}}$$

Són uns 0,15 mg de $\ce{Cu^2+}$ per litre. Val la pena comentar la sensibilitat al pH: com que $[\ce{OH-}]$ apareix al quadrat, pujar el pH una sola unitat (fins a 8,2) dividiria la concentració màxima admissible per 100, fins a $2{,}4\cdot 10^{-8}$ M. En un llac que ha rebut hipoclorit i tendeix a basificar-se, l'algicida de coure precipitaria i deixaria de fer efecte: les dues qüestions del cas estan lligades.

Elaboració de la situació d'aprenentatge (Cas 2)

L'enunciat demana: a) (2,5 p) dissenyar una sessió pràctica al laboratori amb l'objectiu de fabricar sabó a partir d'oli i hidròxid de sodi, detallant modalitat d'intervenció, estratègia metodològica, concreció d'activitats i materials, normes de seguretat, gestió de residus i participació de tot l'alumnat; b) (1 p) concretar els aprenentatges competencials; c) (1,5 p) descriure com s'avaluarà la sessió.

⚠️ Igual que al Cas 1, aquesta part val la meitat de la nota i és de resposta oberta. El que segueix és una orientació.

Punts que difícilment poden faltar:

• La seguretat no és un tràmit ací. La saponificació amb $\ce{NaOH}$ és una de les poques pràctiques escolars amb risc real de cremada química: hidròxid de sodi sòlid (corrosiu, molt exotèrmic en dissoldre's), reacció que s'escalfa sola, esquitxades de sabó càustic. Cal concretar ulleres de seguretat integrals, guants de nitril, bata, vitrina o ventilació, preparació de la dissolució pel docent o amb concentració ja preparada, i el protocol d'accident (rentat abundant amb aigua, mai neutralitzar amb àcid sobre la pell). Un tribunal que llegisca vint situacions d'aprenentatge se'n recordarà de la que ho detalla.
• Gestió de residus concreta. El sabó fresc encara és molt alcalí: no llençar a l'aigüera fins a la cura; retirada del $\ce{NaOH}$ sobrant en contenidor de bases; oli usat com a matèria primera (bona ocasió per parlar d'economia circular i del punt verd).
• Química de fons, per si el tribunal pregunta: hidròlisi bàsica dels triglicèrids (triglicèrid + 3 $\ce{NaOH}$ → glicerol + 3 sals sòdiques d'àcids grassos), estructura amfipàtica del sabó, formació de micel·les, «sal de precipitació» amb aigües dures. Enllaça de manera natural amb la qüestió prèvia 2 (química de l'aigua) i amb el context de sequera.
• Atenció a la diversitat, cas per cas. Alumne SIEI amb trets autistes: anticipació de la sessió amb guió visual pas a pas, previsió del soroll i les olors del laboratori, rol definit dins l'equip, espai de retirada acordat. Alumna amb TDAH: protocol segmentat en passos curts amb fita al final de cada un, temporitzador visible, responsabilitat concreta que exigisca moviment (pesar, mesurar, controlar el temps). Alumne nouvingut: pictogrames del material i dels pictogrames SGA de perill, parella de suport.
• Aprenentatges competencials (apartat b) i avaluació (apartat c): igual que al Cas 1, lligats al Decret 175/2022 amb codis, rúbrica compartida abans de la pràctica i distinció entre avaluació formativa i qualificadora. Un instrument que encaixa molt bé ací és una llista de verificació de seguretat que l'alumnat aplica sobre si mateix i sobre l'equip.