Examen de Física i Química — Madrid 2025: enunciat i solució comentada

L'exercici pràctic de l'oposició de Física i Química de la Comunitat de Madrid de 2025 va constar de sis problemes, qualificats de 0 a 10 punts cadascun, sent la nota de l'exercici la mitjana aritmètica dels sis. Tres problemes van ser de química (equilibri i àcid-base, termodinàmica d'un gas ideal i equilibris de solubilitat amb formació de complexos) i tres de física (dinàmica de rotació, ones estacionàries i electrostàtica amb la llei de Gauss). A baix tens l'enunciat complet i la resolució pas a pas de cadascun.

Font de l'enunciat. Document oficial del procés selectiu SEC-FP-RE 2025, cos 590, especialitat 007 (Física i Química), Comunitat de Madrid, prova celebrada el 21 de juny de 2025. L'enunciat es reprodueix pel seu interés informatiu; les solucions són d'elaboració pròpia i no procedeixen dels criteris de correcció oficials ni de cap acadèmia.

Instruccions originals. «Han de resoldre's els SIS PROBLEMES, cadascun dels quals es qualificarà de 0 a 10 punts. En cas de tindre diversos apartats, la qualificació de cadascun d' ells serà la que figure en el text i, de no figurar-ne cap, s'entendrà el mateix valor per a tots. La qualificació de l'exercici serà la corresponent a la mitjana de les puntuacions obtingudes en cadascun dels problemes.»

Problema 1 — Equilibri en fase gasosa, fórmula molecular i pH

Enunciat

En un recipient de 10 litres s'introdueixen 2 mol d'una substància A i 1 mol de B, que es transformen en C d'acord amb la següent reacció:

$$\mathrm{A\,(g)} + 3\,\mathrm{B\,(g)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{C\,(g)}$$

Després d'escalfar a 227 ºC, s'arriba a un equilibri en què el nombre de mols de B és igual al de C.

• a) Calculeu els mols de cada component en l'equilibri, el valor de la pressió parcial de B, i la pressió total en el recipient quan s'assoleix l'equilibri. (2 punts)
• b) Determineu els valors de les constants d'equilibri $K_c$ i $K_p$. (1 punt)
• c) L'anàlisi elemental de la substància C indica que està formada exclusivament per nitrogen i hidrogen i que conté un 82,5 % de nitrogen. A més, se sap que $5{,}24\cdot 10^{-2}\ \mathrm{dm^3}$ del compost C tenen $1{,}35\cdot 10^{24}$ molècules. Determineu la fórmula molecular i empírica de C. Anomeneu el compost. (2 punts)
• d) Tot el compost C que hi ha després de l'equilibri assolit en l'apartat a) s'extrau i reacciona exactament amb 320 mL d'una dissolució d'àcid clorhídric. Calculeu: (2,5 punts) d.1) la concentració molar de la dissolució d'àcid clorhídric; d.2) el pH de la dissolució resultant.
• e) Una vegada assolit l'equilibri s'introdueix en el matràs de reacció 0,1 mol del compost C. Justifiqueu cap a on es desplaçaria l'equilibri i què passaria amb la concentració de A. (1 punt)
• f) Justifiqueu, fent referència al seu enllaç, geometria molecular, forces intermoleculars i caràcter polar o apolar, l'alta o baixa solubilitat del compost C en aigua. (1,5 punts)

Dades: masses atòmiques relatives $A_r(\mathrm{H}) = 1{,}01$, $A_r(\mathrm{N}) = 14{,}01$; constant de basicitat del compost C, $pK_b = 4{,}75$; constant dels gasos ideals $R = 0{,}082\ \mathrm{atm\,L\,K^{-1}mol^{-1}} = 8{,}31\ \mathrm{J\,K^{-1}mol^{-1}}$; densitat del compost C, $d = 0{,}73\ \mathrm{kg/m^3}$; nombre d'Avogadro $6{,}022\cdot 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$.

Solució

a) Composició en l'equilibri i pressions

Plantegem la taula de mols amb el grau d'avanç $x$ (mols de A que reaccionen):

| | A | B | C | | --------- | ----- | ------ | ----- | | Inicial | 2 | 1 | 0 | | Canvi | $-x$ | $-3x$ | $+2x$ | | Equilibri | $2-x$ | $1-3x$ | $2x$ |

La condició de l'enunciat, $n_\mathrm{B} = n_\mathrm{C}$, fixa l'avanç:

$$1 - 3x = 2x \;\Longrightarrow\; x = 0{,}20\ \mathrm{mol}$$ $$n_\mathrm{A} = 1{,}80\ \mathrm{mol}, \qquad n_\mathrm{B} = n_\mathrm{C} = 0{,}40\ \mathrm{mol}, \qquad n_\text{total} = 2{,}60\ \mathrm{mol}$$

Amb $T = 227\ ^\circ\mathrm{C} = 500\ \mathrm{K}$ i $V = 10\ \mathrm{L}$, l'equació dels gasos ideals dona directament la pressió parcial de B i la pressió total:

$$p_\mathrm{B} = \frac{n_\mathrm{B}RT}{V} = \frac{0{,}40\cdot 0{,}082\cdot 500}{10} = 1{,}64\ \mathrm{atm}$$ $$p_\text{total} = \frac{n_\text{total}RT}{V} = \frac{2{,}60\cdot 0{,}082\cdot 500}{10} = 10{,}66\ \mathrm{atm}$$

Cal notar que la pressió ha baixat respecte de la inicial ($3{,}00\ \mathrm{mol} \to 12{,}30\ \mathrm{atm}$), com correspon a una reacció que consumeix 4 mol de gas i produeix només 2.

b) Constants d'equilibri

Les concentracions en l'equilibri són $[\mathrm{A}] = 0{,}180$, $[\mathrm{B}] = [\mathrm{C}] = 0{,}0400\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$:

$$K_c = \frac{[\mathrm{C}]^2}{[\mathrm{A}][\mathrm{B}]^3} = \frac{(0{,}0400)^2}{0{,}180\cdot (0{,}0400)^3} = \frac{1{,}60\cdot 10^{-3}}{1{,}152\cdot 10^{-5}} = 1{,}39\cdot 10^{2}\ \mathrm{L^2mol^{-2}}$$

Com que $\Delta n = 2 - 4 = -2$:

$$K_p = K_c\,(RT)^{\Delta n} = \frac{138{,}9}{(0{,}082\cdot 500)^2} = \frac{138{,}9}{1681} = 8{,}26\cdot 10^{-2}\ \mathrm{atm^{-2}}$$

c) Fórmula empírica i molecular de C

Amb 100 g de compost, 82,5 g són de N i 17,5 g de H:

$$n_\mathrm{N} = \frac{82{,}5}{14{,}01} = 5{,}89\ \mathrm{mol}, \qquad n_\mathrm{H} = \frac{17{,}5}{1{,}01} = 17{,}33\ \mathrm{mol}, \qquad \frac{n_\mathrm{H}}{n_\mathrm{N}} = 2{,}94 \approx 3$$

La fórmula empírica és $\ce{NH3}$ ($M = 17{,}04\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$). Per a la molecular necessitem la massa molar real. La mostra conté

$$n = \frac{1{,}35\cdot 10^{24}}{6{,}022\cdot 10^{23}} = 2{,}24\ \mathrm{mol}$$

i ocupa $5{,}24\cdot 10^{-2}\ \mathrm{dm^3} = 5{,}24\cdot 10^{-2}\ \mathrm{L}$, de manera que

$$M = \frac{d\,V}{n} = \frac{0{,}73\ \mathrm{g\,cm^{-3}}\cdot 52{,}4\ \mathrm{cm^3}}{2{,}24\ \mathrm{mol}} = \frac{38{,}3\ \mathrm{g}}{2{,}24\ \mathrm{mol}} = 17{,}1\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$$

Com que $M / M_\text{empírica} = 1$, fórmula molecular = fórmula empírica = $\ce{NH3}$, amoníac (nomenclatura sistemàtica: trihidrur de nitrogen). L'equilibri de l'apartat a) és, per tant, la síntesi de Haber-Bosch: $\ce{N2 (g) + 3 H2 (g) <=> 2 NH3 (g)}$, amb A $=\ce{N2}$ i B $=\ce{H2}$.

Nota sobre les dades. L'enunciat dona la densitat com $0{,}73\ \mathrm{kg/m^3}$. Eixe valor és incompatible amb la resta de dades: amb ell, la massa de la mostra seria de $0{,}038\ \mathrm{g}$ i resultaria $M = 0{,}017\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$, impossible. La combinació de dades només és coherent si es llig $0{,}73\ \mathrm{kg/dm^3} = 0{,}73\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$, la densitat de l' amoníac líquid, que és la usada més amunt. Convé detectar i fer constar la incoherència en el mateix examen: el tribunal valora que es justifique la hipòtesi de treball.

d) Reacció amb HCl i pH resultant

d.1) La neutralització és $\ce{NH3 + HCl -> NH4Cl}$, d'estequiometria 1:1. Els 0,40 mol de amoníac de l'equilibri consumeixen 0,40 mol de HCl:

$$c(\mathrm{HCl}) = \frac{0{,}40\ \mathrm{mol}}{0{,}320\ \mathrm{L}} = 1{,}25\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$$

d.2) En reaccionar en quantitats exactament estequiomètriques, la dissolució final conté només clorur d'amoni, $1{,}25\ \mathrm{M}$. L'ió $\ce{NH4+}$ és l'àcid conjugat d'una base feble i s'hidrolitza:

$$\ce{NH4+ + H2O <=> NH3 + H3O+}, \qquad K_a = \frac{K_w}{K_b} = \frac{1{,}0\cdot 10^{-14}}{1{,}78\cdot 10^{-5}} = 5{,}62\cdot 10^{-10}$$

(on $K_b = 10^{-4{,}75} = 1{,}78\cdot 10^{-5}$). Com que $K_a$ és molt menuda enfront de la concentració, $[\ce{H3O+}] = \sqrt{K_a\,c}$:

$$[\ce{H3O+}] = \sqrt{5{,}62\cdot 10^{-10}\cdot 1{,}25} = 2{,}65\cdot 10^{-5}\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \;\Longrightarrow\; \mathrm{pH} = 4{,}58$$

Dissolució àcida, com és d'esperar de la sal d'un àcid fort i una base feble.

e) Pertorbació de l'equilibri

Afegir 0,10 mol de C augmenta $[\mathrm{C}]$ i fa que el quocient de reacció supere la constant, $Q > K_c$. El sistema respon desplaçant-se cap a l'esquerra (formació de reactius) fins a recuperar $Q = K_c$, d'acord amb el principi de Le Châtelier. En conseqüència, la concentració de A augmenta.

f) Solubilitat de l'amoníac en aigua

L'amoníac és molt soluble en aigua. La justificació encadena els quatre aspectes que demana l' enunciat:

• Enllaç. Tres enllaços covalents N–H polars; el nitrogen és molt més electronegatiu ($\chi_\mathrm{N} = 3{,}0$ enfront de $\chi_\mathrm{H} = 2{,}1$), de manera que cada enllaç té un moment dipolar apreciable dirigit cap al N.
• Geometria. Nitrogen amb hibridació $sp^3$, quatre parells electrònics, un d'ells no enllaçant: geometria de piràmide trigonal (AX₃E), amb angles H–N–H d'uns 107º.
• Caràcter polar. En no ser plana ni simètrica, els moments dipolars d'enllaç no es cancel·len; la molècula és polar ($\mu = 1{,}47\ \mathrm{D}$), amb el parell solitari reforçant el dipol.
• Forces intermoleculars. El $\ce{NH3}$ forma enllaços d'hidrogen amb l'aigua tant com donador (H unit a N) com acceptor (parell solitari del N). A això se suma la reacció parcial $\ce{NH3 + H2O <=> NH4+ + OH-}$, que retira amoníac molecular de la dissolució i desplaça l' equilibri de dissolució.

La suma de polaritat, enllaç d'hidrogen bidireccional i reacció àcid-base explica una solubilitat extraordinàriament alta (de l'ordre de 500 g per litre d'aigua a 20 ºC).

Problema 2 — Cicle termodinàmic d'un gas ideal

Enunciat

Tenim 4 mols d'un gas ideal ($C_v = 3\ \mathrm{cal\,mol^{-1}K^{-1}}$) que realitza el cicle de la figura, on el procés BC és una compressió isoterma. Calcular per a cada etapa del cicle, el treball, la calor i la variació d'energia interna.

Dades: $1\ \mathrm{atm} = 101325\ \mathrm{Pa}$; $R = 8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} = 1{,}987\ \mathrm{cal\,mol^{-1}K^{-1}}$; $1\ \mathrm{cal} = 4{,}18\ \mathrm{J}$.

Problema 2

Cicle A → B → C → A en el diagrama p–V

A

B

C

1

2

3

8

4

8,2

16,4

p (atm)

V (L)

Solució

Identificació dels tres estats

Del diagrama es lligen els estats: A $(8{,}2\ \mathrm{L};\ 4\ \mathrm{atm})$, B $(16{,}4\ \mathrm{L};\ 4\ \mathrm{atm})$ i C $(8{,}2\ \mathrm{L};\ 8\ \mathrm{atm})$. Amb $n = 4\ \mathrm{mol}$ i $T = pV/nR$:

$$T_\mathrm{A} = \frac{4\cdot 101325\cdot 8{,}2\cdot 10^{-3}}{4\cdot 8{,}314} = 100\ \mathrm{K}, \qquad T_\mathrm{B} = T_\mathrm{C} = 200\ \mathrm{K}$$

cosa que confirma que BC és efectivament una isoterma ($p_\mathrm{B}V_\mathrm{B} = p_\mathrm{C}V_\mathrm{C} = 65{,}6\ \mathrm{atm\,L}$). Adoptem el criteri $\Delta U = Q - W$, amb $W$ el treball realitzat pel gas. Com que $C_v = 3\ \mathrm{cal\,mol^{-1}K^{-1}}$, es té $nC_v = 12\ \mathrm{cal\,K^{-1}}$ i $C_p = C_v + R = 4{,}987\ \mathrm{cal\,mol^{-1}K^{-1}}$.

Etapa 1: A → B (expansió isòbara, 100 K → 200 K)

$$W_1 = p\,\Delta V = 4\cdot 101325\cdot (16{,}4-8{,}2)\cdot 10^{-3} = 3324\ \mathrm{J} = 795\ \mathrm{cal}$$ $$\Delta U_1 = nC_v\Delta T = 12\cdot 100 = 1200\ \mathrm{cal} = 5016\ \mathrm{J}$$ $$Q_1 = \Delta U_1 + W_1 = 1200 + 795 = 1995\ \mathrm{cal} = 8339\ \mathrm{J}$$

Comprovació: $Q_1 = nC_p\Delta T = 4\cdot 4{,}987\cdot 100 = 1995\ \mathrm{cal}$. El gas s' expandeix, absorbeix calor i s'escalfa.

Etapa 2: B → C (compressió isoterma a 200 K)

En no variar la temperatura d'un gas ideal, $\Delta U_2 = 0$ i tot el treball s'intercanvia com calor:

$$W_2 = nRT\ln\frac{V_\mathrm{C}}{V_\mathrm{B}} = 4\cdot 1{,}987\cdot 200\cdot \ln\frac{8{,}2}{16{,}4} = 1589{,}6\cdot(-0{,}693) = -1102\ \mathrm{cal} = -4605\ \mathrm{J}$$ $$\Delta U_2 = 0, \qquad Q_2 = W_2 = -1102\ \mathrm{cal} = -4605\ \mathrm{J}$$

El signe negatiu indica que es realitza treball sobre el gas i que este cedeix eixa mateixa energia a l'entorn en forma de calor.

Etapa 3: C → A (refredament isòcor, 200 K → 100 K)

$$W_3 = 0 \quad (\Delta V = 0), \qquad \Delta U_3 = Q_3 = nC_v\Delta T = 12\cdot(-100) = -1200\ \mathrm{cal} = -5016\ \mathrm{J}$$

Balanç del cicle

| Etapa | $W$ (cal) | $Q$ (cal) | $\Delta U$ (cal) | | --------------- | --------------- | --------------- | ---------------- | | 1. A→B isòbara | $+795$ | $+1995$ | $+1200$ | | 2. B→C isoterma | $-1102$ | $-1102$ | $0$ | | 3. C→A isòcora | $0$ | $-1200$ | $-1200$ | | Cicle | $\mathbf{-307}$ | $\mathbf{-307}$ | $\mathbf{0}$ |

L'energia interna és funció d'estat, per tant $\Delta U_\text{cicle} = 0$ i necessàriament $Q_\text{cicle} = W_\text{cicle}$: la coincidència d'ambdós totals valida els càlculs. El treball net és negatiu ($-307\ \mathrm{cal} = -1283\ \mathrm{J}$) perquè el cicle es recorre en sentit antihorari en el diagrama $p$–$V$: no és una màquina tèrmica, sinó un cicle consumidor de treball del tipus frigorífic.

Problema 3 — Solubilitat del $\ce{AgCl}$ i redissolució amb amoníac

Enunciat

S'afigen 0,717 g de $\ce{AgCl}$ a 100 mL d'aigua.

• a) Trobeu la quantitat de $\ce{AgCl}$ que es dissol. (4 punts)
• b) S'agrega una mica d'amoníac concentrat fins a fer-se 2 M en $\ce{NH3}$; trobeu si podrà redissoldre's tot el clorur de plata. No varia el volum en afegir l'amoníac. (6 punts)

Dades: $K_{ps}(\ce{AgCl}) = 1{,}72\cdot 10^{-10}$; constant de dissociació de $\ce{Ag(NH3)2+} = 6{,}8\cdot 10^{-8}$; masses atòmiques: $\mathrm{Cl} = 35{,}5$, $\mathrm{Ag} = 107{,}9\ \mathrm{u}$.

Solució

a) Clorur de plata dissolt en aigua pura

Quantitat total afegida ($M = 143{,}4\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$):

$$n_\text{total} = \frac{0{,}717}{143{,}4} = 5{,}00\cdot 10^{-3}\ \mathrm{mol}$$

que en 0,100 L equivaldria a una concentració nominal de $0{,}0500\ \mathrm{M}$ si tot es dissolguera. L'equilibri real és $\ce{AgCl (s) <=> Ag+ + Cl-}$, amb $K_{ps} = [\ce{Ag+}][\ce{Cl-}] = s^2$:

$$s = \sqrt{K_{ps}} = \sqrt{1{,}72\cdot 10^{-10}} = 1{,}31\cdot 10^{-5}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$$ $$n_\text{dissolt} = s\,V = 1{,}31\cdot 10^{-6}\ \mathrm{mol} \;\Longrightarrow\; m = 1{,}31\cdot 10^{-6}\cdot 143{,}4 = 1{,}88\cdot 10^{-4}\ \mathrm{g} = 0{,}19\ \mathrm{mg}$$

Es dissolen a penes 0,19 mg: pràcticament tot el sòlid (0,7168 g) roman sense dissoldre. La dissolució està saturada i en equilibri amb el precipitat.

b) Efecte de l'amoníac: equilibri de formació del complex

L'amoníac forma el complex diamminplata(I). La dada és la constant de dissociació, així que la de formació és la seua inversa:

$$\ce{Ag(NH3)2+ <=> Ag+ + 2 NH3}, \quad K_d = 6{,}8\cdot 10^{-8} \;\Longrightarrow\; K_f = \frac{1}{K_d} = 1{,}47\cdot 10^{7}$$

Sumant l'equilibri de solubilitat i el de formació s'obté la reacció global de redissolució:

$$\ce{AgCl (s) + 2 NH3 <=> Ag(NH3)2+ + Cl-}, \qquad K = \frac{K_{ps}}{K_d} = \frac{1{,}72\cdot 10^{-10}}{6{,}8\cdot 10^{-8}} = 2{,}53\cdot 10^{-3}$$

Via 1 — solubilitat màxima en amoníac 2 M. Si es dissolen $s$ mol/L, es consumeixen $2s$ mol/L de amoníac i es produeixen $s$ de complex i $s$ de clorur:

$$K = \frac{s^2}{(2-2s)^2} \;\Longrightarrow\; \frac{s}{2-2s} = \sqrt{K} = 5{,}03\cdot 10^{-2} \;\Longrightarrow\; s = 9{,}14\cdot 10^{-2}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$$

La dissolució 2 M en amoníac pot dissoldre fins a $0{,}0914\ \mathrm{M}$ de $\ce{AgCl}$, molt per damunt dels $0{,}0500\ \mathrm{M}$ presents: sí que es redissol tot el clorur de plata.

Via 2 — comprovació amb el quocient de reacció. Suposant la dissolució completa, $[\ce{Ag(NH3)2+}] = [\ce{Cl-}] = 0{,}0500\ \mathrm{M}$ i l'amoníac sobrant és $2 - 2(0{,}0500) = 1{,}90\ \mathrm{M}$:

$$Q = \frac{0{,}0500\cdot 0{,}0500}{1{,}90^2} = 6{,}93\cdot 10^{-4} < K = 2{,}53\cdot 10^{-3}$$

Com que $Q < K$, la reacció de dissolució encara té tendència a avançar: la hipòtesi és consistent i no queda sòlid. Es pot confirmar comprovant que no es sobrepassa el producte de solubilitat, ja que la plata lliure residual val

$$[\ce{Ag+}] = \frac{K_{ps}}{[\ce{Cl-}]} = \frac{1{,}72\cdot 10^{-10}}{0{,}0500} = 3{,}4\cdot 10^{-9}\ \mathrm{M}$$

és a dir, quatre ordres de magnitud menor que en aigua pura: el complex ha segrestat la plata, que és exactament el mecanisme pel qual un lligand augmenta la solubilitat d'una sal poc soluble.

Problema 4 — Bloc i cilindre sobre dos plans inclinats

Enunciat

Un bloc de 2 kg i un cilindre de 8 kg estan units per un fil inextensible i sense massa, que descansa sobre una politja situada en la unió de dos plans inclinats de 30º i 60º respectivament. Considereu la politja sense massa. El coeficient de frec entre el bloc i el pla és $\mu = 2/\sqrt{3}$. El cilindre parteix del repòs i rodola sense lliscar amb frec menyspreable recorrent 1 m des de l'inici.

• a) Determineu el moment d'inèrcia del cilindre respecte al seu eix central suposant que el seu radi és $R$, longitud $L$ i la seua densitat és uniforme. (3 punts)
• b) Calculeu la velocitat del bloc després d'haver recorregut 1 m pel seu pla. (3 punts)
• c) En eixe instant, el cilindre penetra en una zona enfangada. Sense suposar fricció amb el fang, calcula la distància que recorre el bloc fins a parar. (4 punts)

Dada: acceleració de la gravetat $9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

Problema 4

Muntatge: bloc en el pla de 30º i cilindre en el de 60º

2 kg

8 kg

30º

60º

pla rugós (μ)

zona enfangada

politja sense massa

Solució

a) Moment d'inèrcia del cilindre

Per a un cilindre massís i homogeni de massa $M$, radi $R$ i longitud $L$, la densitat és $\rho = M/(\pi R^2 L)$. Descomponem el sòlid en capes cilíndriques de radi $r$, gruix $\mathrm{d}r$ i volum $\mathrm{d}V = 2\pi r L\,\mathrm{d}r$:

$$I = \int r^2\,\mathrm{d}m = \int_0^R r^2\,\rho\,2\pi r L\,\mathrm{d}r = 2\pi\rho L\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r = 2\pi\rho L\frac{R^4}{4} = \frac{\pi\rho L R^4}{2}$$

i substituint $\rho$:

$$\boxed{\,I = \tfrac{1}{2}MR^2\,} = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot R^2 = 4R^2\ \mathrm{kg\,m^2}$$

El resultat no depén de la longitud $L$: en girar entorn del seu eix, cada element de massa contribueix només per la seua distància a l'eix, independentment de la seua posició longitudinal.

b) Velocitat després de recórrer 1 m

Convé resoldre'l per conservació de l'energia, perquè el fil obliga que bloc i cilindre compartisquen el mòdul de la velocitat $v$, i la condició de rodolament sense lliscament lliga la rotació amb la translació, $\omega = v/R$. L'energia cinètica del cilindre és llavors

$$E_c = \tfrac{1}{2}m_2v^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{1}{2}m_2v^2 + \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}m_2R^2\right)\frac{v^2}{R^2} = \tfrac{3}{4}m_2v^2$$

El cilindre (8 kg) descendeix 1 m al llarg del pla de 60º mentre el bloc (2 kg) ascendeix 1 m pel de 30º vencent el frec. El frec del rodament és menyspreable, i sobre el bloc actua $F_r = \mu m_1 g\cos 30^\circ$. Cal notar que la dada està triada per a simplificar:

$$\mu\cos 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; F_r = m_1 g = 19{,}6\ \mathrm{N}$$

Balanç energètic per a $d = 1\ \mathrm{m}$:

$$m_2 g\,d\,\mathrm{sen}\,60^\circ - m_1 g\,d\,\mathrm{sen}\,30^\circ - \mu m_1 g\,d\cos 30^\circ = \tfrac{1}{2}m_1v^2 + \tfrac{3}{4}m_2v^2$$ $$9{,}8\left(8\cdot 0{,}866 - 2\cdot 0{,}5 - 2\right)\cdot 1 = 9{,}8\cdot 3{,}93 = 38{,}5\ \mathrm{J}$$ $$38{,}5 = \left(\tfrac{1}{2}\cdot 2 + \tfrac{3}{4}\cdot 8\right)v^2 = 7\,v^2 \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{5{,}50} = 2{,}35\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

Equivalentment, l'acceleració constant del sistema és $a = v^2/(2d) = 2{,}75\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, que s'obté també dividint la força neta (38,5 N) entre la massa efectiva $m_1 + m_2 + I/R^2 = 2 + 8 + 4 = 14\ \mathrm{kg}$.

c) Distància recorreguda fins a detindre's

Hipòtesi de treball. La redacció de l'apartat és ambigua («sense suposar fricció amb el fang»). Ho interpretem en el sentit que el fang deté el cilindre en penetrar-hi, amb la qual cosa el fil deixa d'estirar (queda fluix, ja que un fil només transmet tracció) i el bloc continua pujant per inèrcia. És la lectura que fa l'apartat no trivial i coherent amb «la distància que recorre el bloc fins a parar».

A partir d'eixe instant el bloc puja lliure, frenat per la gravetat i pel frec, ambdós dirigits ara cap avall del pla:

$$a' = g\left(\mathrm{sen}\,30^\circ + \mu\cos 30^\circ\right) = 9{,}8\,(0{,}5 + 1) = 14{,}7\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$ $$d' = \frac{v^2}{2a'} = \frac{5{,}50}{2\cdot 14{,}7} = 0{,}187\ \mathrm{m} \approx 19\ \mathrm{cm}$$

Tornarà a baixar? No. Perquè el bloc lliscara de nou caldria $\mathrm{tg}\,30^\circ > \mu$, i ací $\mathrm{tg}\,30^\circ = 0{,}577 < \mu = 1{,}155$: la força de frec estàtic basta per a mantindre'l en repòs. El bloc es deté definitivament 19 cm més amunt.

Problema 5 — Ona estacionària en una corda

Enunciat

Una corda està vibrant en un mode estacionari segons la següent expressió $y = (0{,}2\ \mathrm{m})\,\mathrm{sen}(3\pi x)\cos(40\pi t)$, amb $x$ en metres i $t$ en segons. La corda està localitzada entre les posicions $x = 0\ \mathrm{m}$ i $x = 1\ \mathrm{m}$.

• a) Calcula l'amplitud, el nombre d'ona, la freqüència angular, la longitud d'ona, el període i la freqüència de l'ona. (4 punts)
• b) Demostra que les condicions de contorn corresponen a una ona estacionària i explica els teus resultats. (3 punts)
• c) Dibuixa una gràfica qualitativa de l'ona, $y$ enfront de $x$, en un cert instant. Quants nodes i ventres (antinodes) mostra esta ona estacionària? (3 punts)

Solució

a) Magnituds característiques

Comparant amb la forma canònica $y = A\,\mathrm{sen}(kx)\cos(\omega t)$:

| Magnitud | Expressió | Valor | | -------------------------- | ------------------ | --------------------------------------- | | Amplitud de l'estacionària | $A$ | $0{,}20\ \mathrm{m}$ | | Nombre d'ona | $k$ | $3\pi = 9{,}42\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$ | | Freqüència angular | $\omega$ | $40\pi = 125{,}7\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ | | Longitud d'ona | $\lambda = 2\pi/k$ | $2/3 = 0{,}667\ \mathrm{m}$ | | Període | $T = 2\pi/\omega$ | $0{,}050\ \mathrm{s}$ | | Freqüència | $f = 1/T$ | $20\ \mathrm{Hz}$ |

La velocitat de les ones viatgeres que la componen és $v = \omega/k = 40\pi/3\pi = 13{,}3\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Convé precisar que $0{,}20\ \mathrm{m}$ és l'amplitud màxima (la dels ventres): l'ona estacionària resulta de superposar dues ones progressives de sentits oposats i amplitud $0{,}10\ \mathrm{m}$ cadascuna, ja que

$$0{,}10\,\mathrm{sen}(kx-\omega t) + 0{,}10\,\mathrm{sen}(kx+\omega t) = 0{,}20\,\mathrm{sen}(kx)\cos(\omega t)$$

b) Condicions de contorn

Una corda fixa per ambdós extrems exigeix $y(0,t) = y(L,t) = 0$ per a tot instant. Es comprova:

$$y(0,t) = 0{,}20\,\mathrm{sen}(0)\cos(40\pi t) = 0 \quad \forall t$$ $$y(1,t) = 0{,}20\,\mathrm{sen}(3\pi)\cos(40\pi t) = 0 \quad \forall t$$

Ambdós extrems són nodes permanents, cosa que caracteritza una ona estacionària: els punts de la corda no es propaguen, sinó que oscil·len en fase amb amplituds fixes $0{,}20\,\mathrm{sen}(3\pi x)$ que depenen només de la posició. La condició general de quantització és

$$L = n\frac{\lambda}{2} \;\Longrightarrow\; 1 = n\cdot\frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; n = 3$$

Es tracta, per tant, del tercer harmònic (segon sobretò) de la corda, la freqüència fonamental de la qual és $f_1 = f_3/3 = 6{,}67\ \mathrm{Hz}$.

c) Gràfica, nodes i ventres

Problema 5

Tercer harmònic: y enfront de x en un instant de màxima elongació

N

N

N

N

V

V

V

0

1/3

2/3

1

+0,2

−0,2

x (m)

Els nodes són els punts on $\mathrm{sen}(3\pi x) = 0$, és a dir $3\pi x = m\pi$ amb $x = m/3$ dins de l'interval $[0,1]$: $x = 0;\ 1/3;\ 2/3;\ 1\ \mathrm{m}$, quatre nodes. Els ventres compleixen $|\mathrm{sen}(3\pi x)| = 1$, això és $x = 1/6;\ 1/2;\ 5/6\ \mathrm{m}$, tres ventres. La regla general per a l'harmònic $n$ és $n+1$ nodes i $n$ ventres, que ací amb $n = 3$ dona els quatre i tres obtinguts. Cal notar que dos nodes consecutius disten $\lambda/2 = 1/3\ \mathrm{m}$, i que un node i el ventre contigu disten $\lambda/4 = 1/6\ \mathrm{m}$.

Problema 6 — Camp i potencial d'un cable coaxial

Enunciat

Un cable coaxial (radi $b$) té una densitat de càrrega (superficial, uniforme i negativa) en la seua superfície externa. Este cable porta una densitat $\rho$ de càrrega (volumètrica, uniforme i positiva) en un cilindre intern (radi $a$). El cable és neutre.

• a) Determina el camp elèctric en les distintes zones de l'espai. (5 punts)
• b) Determina el potencial elèctric en les distintes zones de l'espai. (3,5 punts)
• c) Dibuixa una gràfica de camp enfront de la distància perpendicular de l'eix. (1,5 punts)

Solució

Simetria i superfície gaussiana

La distribució té simetria cilíndrica i es suposa de longitud indefinida, de manera que el camp és radial i el seu mòdul depén només de la distància a l'eix, $\vec{E} = E(r)\,\hat{u}_r$. La superfície gaussiana adequada és un cilindre coaxial de radi $r$ i longitud $\ell$; el flux a través de les seues bases és nul (camp paral·lel a elles) i a través de la cara lateral val $E(r)\cdot 2\pi r\ell$.

La càrrega per unitat de longitud del conductor intern és $\lambda = \rho\pi a^2$. La condició de neutralitat fixa la densitat superficial externa:

$$\sigma\,2\pi b\ell + \rho\pi a^2\ell = 0 \;\Longrightarrow\; \sigma = -\frac{\rho a^2}{2b}$$

negativa, com indica l'enunciat.

a) Camp elèctric per regions

Zona interna ($r \le a$). La càrrega tancada és $q_\text{int} = \rho\pi r^2\ell$:

$$E(r)\,2\pi r\ell = \frac{\rho\pi r^2\ell}{\varepsilon_0} \;\Longrightarrow\; E(r) = \frac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}$$

Creix linealment des de zero en l'eix, perquè en allunyar-se augmenta la càrrega tancada més de pressa del que es dilueix el flux.

Zona intermèdia ($a \le r \le b$). Tota la càrrega positiva queda tancada, $q_\text{int} = \rho\pi a^2\ell$:

$$E(r) = \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0\,r}$$

Decau com $1/r$, el resultat clàssic d'un fil carregat. En $r = a$ ambdues expressions coincideixen, $E(a) = \rho a/2\varepsilon_0$: el camp és continu, com ha de ser en no haver-hi densitat superficial en $r = a$.

Zona externa ($r \ge b$). La càrrega total tancada és nul·la per ser el cable neutre:

$$E(r) = 0$$

Este és l'apantallament característic del cable coaxial: fora d'ell no hi ha camp, cosa que el fa idoni per a transportar senyal sense radiar ni captar interferències. En $r = b$ hi ha una discontinuïtat de valor $|\sigma|/\varepsilon_0$, coherent amb la densitat superficial de càrrega.

b) Potencial elèctric per regions

Com que $E = 0$ per a $r > b$, el potencial és constant fora del cable; s'elegeix l'origen ahí, que és a més el valor a l'infinit: $V(r \ge b) = 0$. S'integra $V(r) = \int_r^{\text{ref}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$.

Zona intermèdia ($a \le r \le b$):

$$V(r) = \int_r^b \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0 r'}\,\mathrm{d}r' = \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0}\ln\frac{b}{r}$$

Zona interna ($r \le a$): s'acumulen les dues contribucions,

$$V(r) = \int_r^a \frac{\rho r'}{2\varepsilon_0}\,\mathrm{d}r' + V(a) = \frac{\rho}{4\varepsilon_0}\left(a^2 - r^2\right) + \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0}\ln\frac{b}{a}$$

El potencial és màxim en l'eix, $V(0) = \dfrac{\rho a^2}{4\varepsilon_0}\left(1 + 2\ln\dfrac{b}{a}\right)$, i decreix de forma monòtona fins a anul·lar-se en $r = b$, com correspon a un camp dirigit cap a fora. Les tres expressions empalmen amb continuïtat en $r = a$ i $r = b$: el potencial és sempre continu, encara que el camp no ho siga.

c) Gràfica del camp

Problema 6

Mòdul del camp elèctric enfront de la distància a l'eix

a

b

ρa/2ε₀

E(r)

r

E ∝ r

E ∝ 1/r

E = 0

Comentari global de l'exercici

L'examen manté l'equilibri 50/50 entre física i química que caracteritza l'especialitat, i aposta per problemes llargs i encadenats més que per molts problemes curts: el primer recorre ell sol estequiometria, equilibri químic, determinació de fórmules, àcid-base i enllaç, de manera que un error inicial en el grau d'avanç arrossega cinc apartats. Val la pena, per això, dedicar un minut a comprovar la coherència dels primers resultats abans de seguir.

Tres detalls amb valor estratègic per a l'opositor:

1. Les dades incoherents existeixen. En el problema 1 la densitat està expressada en unitats que no quadren amb la resta de l'enunciat. El correcte és assenyalar-ho, adoptar la interpretació coherent i resoldre: el tribunal valora el criteri, no el silenci.
2. Els enunciats ambigus també. L'apartat 4c admet més d'una lectura; explicitar la hipòtesi de treball abans de calcular protegeix la puntuació.
3. Les comprovacions creuades puntuen. Calcular $Q_1$ dues vegades (per $\Delta U + W$ i per $nC_p\Delta T$), verificar que $\Delta U_\text{cicle} = 0$ o resoldre la redissolució del $\ce{AgCl}$ per dues vies demostra domini del formalisme i detecta errors aritmètics sense a penes cost de temps.