Examen de Física i Química — Canàries 2025: tres supòsits pràctics resolts

La prova pràctica de l'oposició de Física i Química de Canàries de 2025 es va organitzar en tres supòsits pràctics, cadascun amb una part de qüestions de física i química i una part d'intervenció didàctica contextualitzada en una aula concreta. Els temes: el ciclotró i la radioactivitat aplicada a la tomografia PET, la combustió del dodecà i la pluja àcida en el context energètic canari, i l'equilibri de síntesi del metanol verd. A baix tens l'enunciat i la resolució de totes les qüestions, més una orientació per a les intervencions didàctiques.

Font de l'enunciat. Document oficial del procediment selectiu 2025 de la Conselleria d' Educació, Formació Professional, Activitat Física i Esports del Govern de Canàries, especialitat Física i Química. Les solucions són d'elaboració pròpia; no procedeixen de criteris de correcció oficials ni de cap acadèmia. Les propostes didàctiques són de resposta oberta i s'ofereixen com a orientació, no com a solució única.

Supòsit pràctic núm. 1 — Ciclotró i PET

Context de l'enunciat

La Tomografia per Emissió de Positrons (TEP/PET) usa la radioactivitat per a diagnosticar tumors. S'injecta per via intravenosa F-18, un isòtop radioactiu que viatja allotjat en molècules de glucosa (fluorodesoxiglucosa, FDG). El F-18 es desintegra emetent un positró; este xoca amb un electró i tots dos s'aniquilen emetent 2 fotons que detecta l'aparell. El F-18 s'obté en un ciclotró, que combina camp elèctric i camp magnètic per a accelerar partícules positives fins a velocitats molt altes que, en impactar contra nuclis atòmics, generen nuclis radioactius.

Qüestió 1 — El ciclotró

Enunciat

a) Descriviu un ciclotró i expliqueu com funciona. b) Siga un ciclotró en el centre del qual s'injecten protons amb velocitat menyspreable que, després de diverses voltes, adquireixen una energia de 18 MeV. Si el camp magnètic és d'1,8 T i es menysprea l'efecte relativista, determineu: b.1) el temps que tarden a recórrer una semicircumferència; b.2) la variació d'energia cinètica en passar d'una «de» a l'altra si se sotmeten a una diferència de potencial de $3\cdot 10^{4}\ \mathrm{V}$; b.3) el nombre de voltes abans d'eixir i la velocitat d'eixida.

Dades: $m_p = 1{,}7\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$; $q_p = +1{,}6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$; $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$.

Supòsit 1

Esquema del ciclotró: dues «des» semicirculars separades pel buit accelerador

B

«de» 1

«de» 2

buit: ΔV alterna

eixida

Solució

a) Descripció i funcionament. Un ciclotró consta de dos elèctrodes buits semicirculars —les «des»— situats en el buit, entre els pols d'un electroimant que crea un camp magnètic $\vec B$ perpendicular al pla de les des. Entre ambdues hi ha un buit estret al qual s'aplica una diferència de potencial alterna.

El funcionament reposa en una propietat notable. Dins d'una «de» no hi ha camp elèctric (és una gàbia de Faraday) i només actua la força magnètica, que obliga la partícula a descriure una semicircumferència de radi $r = mv/(qB)$. El temps que tarda a recórrer-la és

$$t_{1/2} = \frac{\pi r}{v} = \frac{\pi m}{qB}$$

independent de la velocitat i del radi: encara que la partícula vaja cada vegada més ràpida, descriu cercles cada vegada més grans i tarda sempre el mateix. Eixa és la clau de l'invent: n'hi ha prou amb aplicar una tensió alterna de freqüència fixa (la freqüència ciclotró $f = qB/2\pi m$) perquè, cada vegada que la partícula arriba al buit, el camp elèctric estiga orientat en el sentit correcte i l'accelere. La trajectòria resultant és una espiral de radi creixent; en assolir el radi màxim, la partícula s'extrau i es dirigeix al blanc. (El límit del disseny és precisament l'efecte relativista: quan $\gamma$ deixa de ser 1, el període augmenta i la partícula es desincronitza; d'ací els sincrociclotrons.)

b.1) Temps de la semicircumferència.

$$t_{1/2} = \frac{\pi m}{qB} = \frac{\pi\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}8} = 1{,}85\cdot 10^{-8}\ \mathrm{s}$$

b.2) Guany d'energia per pas. Al buit, el treball del camp elèctric és

$$\Delta E_c = q\,\Delta V = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 3\cdot 10^{4} = 4{,}8\cdot 10^{-15}\ \mathrm{J} = 3\cdot 10^{4}\ \mathrm{eV} = 30\ \mathrm{keV}$$

Treballant en electronvolts el càlcul és immediat: un protó que travessa 30 kV guanya, per definició, 30 keV.

b.3) Nombre de voltes i velocitat final. En cada volta completa la partícula creua el buit dues vegades, guanyant $2\times 30 = 60\ \mathrm{keV}$ per volta. Per a arribar a 18 MeV:

$$N = \frac{18\cdot 10^{6}\ \mathrm{eV}}{6\cdot 10^{4}\ \mathrm{eV/volta}} = 300\ \text{voltes}$$

I de $E_c = \tfrac12 mv^2$, amb $E_c = 18\ \mathrm{MeV} = 2{,}88\cdot 10^{-12}\ \mathrm{J}$:

$$v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}88\cdot 10^{-12}}{1{,}7\cdot 10^{-27}}} = 5{,}82\cdot 10^{7}\ \mathrm{m/s}$$

que és $0{,}19\,c$. Convé assenyalar que amb eixa velocitat $\gamma = 1{,}02$, així que menysprear la correcció relativista introdueix un error d'entorn al 2 %: la hipòtesi de l'enunciat és raonable però no gratuïta.

Qüestió 2 — Reaccions nuclears

Enunciat

Escriviu i ajusteu les dues reaccions nuclears a què es fa referència en la introducció.

Solució

La introducció menciona tres processos nuclears; els dos que demana l'enunciat són la desintegració i l'aniquilació, encara que convé afegir també la producció en el ciclotró:

1) Producció del F-18 (per bombardeig d'aigua enriquida en $\ce{^18O}$ amb els protons accelerats; és la reacció $^{18}\mathrm{O}(p,n)^{18}\mathrm{F}$):

$$\ce{^18_8O + ^1_1H -> ^18_9F + ^1_0n}$$

2) Desintegració $\beta^+$ del F-18 (emissió de positró i neutrí electrònic):

$$\ce{^18_9F -> ^18_8O + ^0_{+1}e + \nu_e}$$

3) Aniquilació positró-electró, que produeix els dos fotons detectats:

$$\ce{^0_{+1}e + ^0_{-1}e -> 2\gamma}$$

En els tres casos es comproven les dues lleis de conservació: nombre màssic (dalt) i nombre atòmic o càrrega (baix). En l'aniquilació, l'energia de cada fotó és $E = m_ec^2 = 511\ \mathrm{keV}$, i eixen en direccions oposades per a conservar el moment lineal: precisament eixa emissió en coincidència i a 180º és el que permet a l'escàner PET reconstruir la línia en què va ocórrer el succés.

Qüestió 3 — Pèrdua d'activitat durant el transport

Enunciat

A les 4:00 es genera una substància radioactiva amb activitat $3\cdot 10^{10}\ \mathrm{Bq}$ en un ciclotró de Madrid. Tarda 30 minuts a arribar a l'aeroport, el vol a Gran Canària dura 3 hores i des de l'aeroport fins a l'Hospital transcorren 45 minuts. Calculeu en tant per cent quant ha disminuït l'activitat en arribar a destinació, sabent que el període de semidesintegració del F-18 és 1,83 hores.

Solució

El temps total de transport és

$$t = 0{,}5 + 3 + 0{,}75 = 4{,}25\ \mathrm{h}$$

L'activitat decau amb la mateixa llei exponencial que el nombre de nuclis:

$$\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4{,}25/1{,}83} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2{,}32} = 0{,}200$$ $$\text{Disminució} = (1 - 0{,}200)\cdot 100 = \boxed{80{,}0\ \%}$$

Només arriba a Gran Canària una cinquena part de l'activitat inicial ($6\cdot 10^{9}\ \mathrm{Bq}$). Este nombre és justament l'argument del supòsit: amb un període de menys de dues hores, cada trasllat llarg obliga a produir cinc vegades més dosi de la necessària, i per això els ciclotrons es instal·len al costat dels hospitals que fan PET. És, a més, un excel·lent exemple que la semivida curta del F-18 és alhora la seua virtut (menys dosi per al pacient) i la seua limitació logística.

Intervenció didàctica (orientació)

Context de l'enunciat: IES de ciutat populosa, Física de 2n de Batxillerat, alumnat orientat a la PAU i a enginyeries. El centre participa en la XARXA CANÀRIA-InnovAS (eix STEAM), no té laboratori però sí aules d'informàtica, ordinador i videoprojector a l'aula. Grup de 28, amb un alumne TEA, un altre d'altes capacitats amb talent matemàtic (ALCAIN), un altre absentista i tres amb la Física i Química de 1r pendent. Es demanen 4 sessions el producte final de les quals siga una campanya de conscienciació sobre la rellevància de la radioactivitat en la salut i el problema que no hi haja ciclotró en els hospitals canaris.

Elements que una bona resposta hauria de concretar:

• Seqüència de 4 sessions, per exemple: (1) repte inicial a partir del càlcul del 80 % de pèrdua d'activitat —el mateix problema resolt més amunt— com a ancoratge; (2) simulació a l'aula de informàtica (PhET, simuladors de desintegració) per a construir la llei exponencial; (3) cerca documentada i contrast de fonts sobre PET i ciclotrons a Espanya; (4) producció i avaluació de la campanya.
• L'absència de laboratori no és un obstacle: l'enunciat la menciona a propòsit. Cal recolzar-se en simulacions i dades reals (sèries d'activitat, mapes d'instal·lacions PET), la qual cosa a més encaixa amb l'eix STEAM i amb l'orientació a enginyeries del grup.
• Atenció a la diversitat, perfil a perfil: anticipació i guions visuals per a l'alumne amb TEA, evitant la sobrecàrrega sensorial de la campanya; tasques d'ampliació amb modelització matemàtica (ajust exponencial, semivida efectiva biològica) per a l'alumne ALCAIN; materials i lliuraments asíncrons accessibles per a l'alumnat absentista; i activitats de reforç dels sabers de 1r (cinemàtica de la desintegració, unitats) per als tres amb la matèria pendent, aprofitant que la recuperació es pot integrar en el mateix projecte.
• Producte final i avaluació: rúbrica de la campanya (rigor científic, adequació al públic, ús de fonts), coavaluació entre grups i una prova individual breu que garantisca que l'aprenentatge competencial no es dilueix en el treball d'equip.
• Dimensió social: el supòsit demana explícitament analitzar un problema real de l'entorn (la insularitat i l'accés a la sanitat). Connectar amb els ODS i amb la comunitat educativa dona sentit a la campanya.

Supòsit pràctic núm. 2 — Energia a Canàries i pluja àcida

Qüestió 1 — Combustió del dodecà

Enunciat

A Canàries l'obtenció energètica depén encara molt dels combustibles fòssils. Segons l' Anuari Energètic de Canàries de 2023, les centrals van consumir 1.565.900 tones de combustibles fòssils, de les quals 868.300 tones són de gasoil (dièsel). Tenint en compte que el dodecà és un dels hidrocarburs principals del dièsel:

| Compost | Dodecà (l) | $\ce{CO2}$ (g) | $\ce{H2O}$ (g) | $\ce{O2}$ (g) | | --------------------------- | ---------- | -------------- | -------------- | ------------- | | $\Delta H^\circ_f$ (kJ/mol) | −298,0 | −393,5 | −241,8 | — | | $S^\circ$ (J/mol·K) | 404,8 | 213,7 | 188,8 | 205,0 |

a) Escriviu la reacció ajustada de combustió. b) Calculeu $\Delta H^\circ$ de reacció. c) Calculeu $\Delta S^\circ$. d) Calculeu $\Delta G^\circ$ a 1000 ºC. e) És espontània en condicions normals? f) Quantes tones de $\ce{CO2}$ es van alliberar per la producció de electricitat a les illes?

Solució

a) Reacció ajustada (amb aigua gasosa, coherent amb les dades aportades):

$$\ce{C12H26(l) + 37/2 O2(g) -> 12 CO2(g) + 13 H2O(g)}$$

o, amb coeficients enters, $\ce{2 C12H26 + 37 O2 -> 24 CO2 + 26 H2O}$.

b) Entalpia estàndard de reacció.

$$\Delta H^\circ = 12(-393{,}5) + 13(-241{,}8) - (-298{,}0) = -4722 - 3143{,}4 + 298 = -7567{,}4\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$$

Fortament exotèrmica, com correspon a un combustible.

c) Entropia estàndard de reacció.

$$\Delta S^\circ = \big[12(213{,}7) + 13(188{,}8)\big] - \big[404{,}8 + 18{,}5(205{,}0)\big] = 5018{,}8 - 4197{,}3 = +821{,}5\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}$$

Positiva, perquè de 18,5 mol de gas (més un líquid) es passa a 25 mol de gas: augmenta el desordre.

d) Energia lliure de Gibbs a 1000 ºC = 1273,15 K.

$$\Delta G^\circ = \Delta H^\circ - T\Delta S^\circ = -7567{,}4 - 1273{,}15(0{,}8215) = -8613\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$$

e) Espontània en condicions normals? A 298 K:

$$\Delta G^\circ = -7567{,}4 - 298{,}15(0{,}8215) = -7812\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} < 0$$

Sí, espontània. I a més ho és a qualsevol temperatura, perquè $\Delta H^\circ < 0$ i $\Delta S^\circ > 0$ fan negatius ambdós termes. Convé distingir espontaneïtat (termodinàmica) de velocitat (cinètica): el gasoil no crema sol a temperatura ambient perquè l' energia d'activació és alta, no perquè el procés no siga espontani.

f) Tones de $\ce{CO2}$. Suposant que tot el gasoil es comporta com dodecà ($M = 170{,}0\ \mathrm{g/mol}$), cada mol produeix 12 mol de $\ce{CO2}$ ($M = 44{,}0\ \mathrm{g/mol}$). La relació en massa és directa:

$$m(\ce{CO2}) = 868\,300\ \mathrm{t}\times\frac{12\cdot 44{,}0}{170{,}0} = 868\,300\times 3{,}106 = 2{,}70\cdot 10^{6}\ \mathrm{t}$$

És a dir, uns 2,7 milions de tones de CO₂ només pel gasoil. (Nota sobre l'enunciat: l'apartat pregunta per «el 2021» mentre que la dada procedeix de l'Anuari de 2023; es resol amb la dada aportada, fent-ho constar.)

Qüestió 2 — La gràfica de l'escalfament global

Enunciat

Observeu la gràfica (anomalia de la temperatura global respecte a la mitjana del segle XX, font NOAA) i contesteu: a) Quin és l'efecte causant i la conseqüència mediambiental? b) Quins compostos contribueixen a este efecte? Raoneu si els CFC hi contribueixen. c) Expliqueu el procés fisicoquímic que dona lloc a l'efecte. d) Indiqueu tres possibles solucions per a mitigar-lo.

Solució

a) La gràfica mostra una anomalia tèrmica positiva i creixent: la temperatura mitjana global supera cada vegada més la mitjana del segle XX, amb una acceleració clara en les últimes dècades. La causa és la intensificació antropogènica de l'efecte hivernacle, i la conseqüència mediambiental és el canvi climàtic: pujada del nivell de la mar per dilatació tèrmica i desglaç, major freqüència i intensitat de fenòmens extrems, acidificació oceànica i desplaçament de les zones climàtiques —amb impactes molt específics a Canàries, com el risc per als ecosistemes de laurisilva o l'augment de les intrusions de calima.

b) Contribueixen els gasos capaços d'absorbir en l'infraroig tèrmic, és a dir, les molècules amb enllaços polars i modes de vibració que varien el moment dipolar: $\ce{CO2}$, $\ce{CH4}$, $\ce{N2O}$, vapor d'aigua, ozó troposfèric i els gasos fluorats. Els gasos diatòmics homonuclears ($\ce{N2}$, $\ce{O2}$), que són el 99 % de l'atmosfera, no són gasos d'efecte hivernacle precisament perquè les seues vibracions no canvien el moment dipolar.

Sí, els CFC hi contribueixen, i de manera desproporcionada: són gasos d'efecte hivernacle molt potents (potencials d'escalfament global de milers de vegades el del $\ce{CO2}$, molècula a molècula) a més de destructors de la capa d'ozó. És important subratllar a l'aula que es tracta de dos problemes distints que es confonen amb freqüència: el forat d'ozó (estratosfèric, radiació UV) i l'efecte hivernacle (troposfèric, radiació IR). Els CFC són un cas rar que participa en tots dos.

c) Procés fisicoquímic. La radiació solar que arriba és majoritàriament d'ona curta (visible), per a la qual l'atmosfera és bastant transparent; el sòl l'absorbeix i s'escalfa. En estar a uns 288 K, la superfície reemet segons la llei de Wien en l'infraroig llunyà (~10 μm). Les molècules de gasos d'efecte hivernacle tenen modes vibracionals l'energia dels quals coincideix amb eixos fotons IR: els absorbeixen (transició vibracional permesa perquè varia el moment dipolar) i els reemeten en totes direccions, tornant part cap a la superfície. El resultat és que l'atmosfera és asimètrica —transparent a l'entrada, opaca a l'eixida— i la superfície ha de escalfar-se fins que el balanç radiatiu es reequilibra. Sense este efecte natural la Terra estaria a uns −18 ºC; el problema no és l'efecte, sinó la seua intensificació.

d) Tres mesures de mitigació, amb lectura canària:

1. Descarbonitzar la generació elèctrica: substituir les centrals tèrmiques de gasoil per renovables (eòlica i fotovoltaica, molt favorables a les illes) amb emmagatzematge —el model de la central hidroeòlica d'El Hierro.
2. Eficiència energètica i electrificació del transport, reduint la demanda abans que ampliant l'oferta.
3. Captura i embornals: protecció i ampliació de la massa forestal, i captura de $\ce{CO2}$ per a usos industrials (per exemple, per a produir e-metanol, que és justament el tema del supòsit 3).

Qüestió 3 — Pluja àcida i dissociació de l'àcid sulfúric

Enunciat

El dièsel pot contindre impureses de sofre, la combustió de les quals allibera $\ce{SO2}$, que s'oxida a $\ce{SO3}$ i este reacciona amb aigua produint àcid sulfúric: $\ce{2 SO2(g) + O2(g) <=> 2 SO3(g)}$; $\ce{SO3(g) + H2O(l) <=> H2SO4(aq)}$.

• a) L'àcid sulfúric és dipròtic i es dissocia en dues etapes. Escriviu ambdues reaccions i expliqueu la seua diferència segons Brønsted-Lowry. Dada: $K_a(\ce{HSO4^-}) = 1{,}2\cdot 10^{-2}$.
• b) Si una mostra de pluja àcida conté inicialment 0,01 M de $\ce{H2SO4}$, calculeu la concentració de $\ce{H+}$ provinent de la segona dissociació i el pH.

Solució

a) Les dues etapes.

$$\text{primera:}\quad \ce{H2SO4 + H2O -> HSO4^- + H3O+} \qquad (\text{completa})$$ $$\text{segona:}\quad \ce{HSO4^- + H2O <=> SO4^2- + H3O+} \qquad K_a = 1{,}2\cdot 10^{-2}$$

Segons Brønsted-Lowry, en ambdues l'àcid cedeix un protó a l'aigua, que actua de base. La diferència és la força: el $\ce{H2SO4}$ és un àcid fort i la primera cessió és pràcticament quantitativa (s'escriu amb fletxa simple), mentre que el $\ce{HSO4^-}$ és un àcid feble i la segona és un equilibri. A més, el $\ce{HSO4^-}$ és amfipròtic: és la base conjugada del $\ce{H2SO4}$ i alhora l'àcid conjugat del $\ce{SO4^2-}$. Que $K_{a2} \ll K_{a1}$ és el normal en poliàcids: arrancar un protó d'una espècie ja carregada negativament costa molt més.

b) Càlcul del pH. La primera dissociació aporta $0{,}0100\ \mathrm{M}$ de $\ce{H+}$ i deixa $0{,}0100\ \mathrm{M}$ de $\ce{HSO4^-}$. Per a la segona, anomenant $x$ el que es dissocia, cal tindre en compte l'efecte de l'ió comú (els $\ce{H+}$ ja presents):

$$K_a = \frac{(0{,}0100+x)\,x}{0{,}0100-x} = 1{,}2\cdot 10^{-2} \;\Longrightarrow\; x^2 + 0{,}0220\,x - 1{,}2\cdot 10^{-4} = 0$$ $$x = [\ce{H+}]_\text{segona} = 4{,}52\cdot 10^{-3}\ \mathrm{M}$$ $$[\ce{H+}]_\text{total} = 0{,}0100 + 0{,}00452 = 1{,}45\cdot 10^{-2}\ \mathrm{M} \;\Longrightarrow\; \mathrm{pH} = -\log(1{,}45\cdot 10^{-2}) = \boxed{1{,}84}$$

Cal notar que la segona dissociació no és menyspreable: aporta quasi un terç dels protons finals. Suposar que només actua la primera donaria pH = 2,00, un error de 0,16 unitats. (El pH real de la pluja àcida és bastant més alt, entorn a 4-4,5, perquè les concentracions atmosfèriques són molt menors que 0,01 M; l'enunciat usa un valor didàctic.)

Intervenció didàctica (orientació)

Context: centre de la zona metropolitana de Santa Cruz de Tenerife, amb capacitació digital (tot l'alumnat amb dispositiu) i jornades transversals de la Xarxa InnovAS. Es coordina l'eix STEAM. Grup de 2n d'ESO (9 alumnes i 14 alumnes) que fusiona sabers del Bloc III «El canvi» i el Bloc V «Energia», amb desmotivació cap a la teoria, dos estudiants amb actituds disruptives al laboratori i tres d'incorporació tardana (INTARSE) procedents de Llatinoamèrica. Producte final: una jornada científica «La química i el canvi climàtic» amb estands d'«Energia a Canàries» i «Efecte Hivernacle», seguint els principis del DUA, i contemplant una sessió en línia per trasllat a modalitat no presencial per altes temperatures.

Claus d'una bona resposta:

• Els dos estands donen l'estructura natural de la seqüència: un itinerari sobre el mix energètic canari (amb dades reals de l'Anuari Energètic, els mateixos de la qüestió 1) i un altre sobre l' efecte hivernacle (amb experiències senzilles: dues botelles, una amb $\ce{CO2}$, i termòmetre baix un focus).
• DUA de veritat, no de nom: múltiples formes de representació (text, vídeo, infografia, maqueta), d'acció i expressió (l'enunciat diu explícitament que l'alumnat pot triar instrument d'avaluació) i d'implicació (elecció de rol i d'estand).
• La sessió en línia ha d'estar dissenyada com a tal, no ser una classe presencial traslladada: encaixa bé la fase de cerca i curació d'informació en equips, amb document col·laboratiu i seguiment asíncron, i cal preveure la bretxa digital malgrat la capacitació.
• Perfils concrets: per a les conductes disruptives al laboratori, normes explícites, rotació de rols amb responsabilitat visible i pràctiques curtes i molt pautades; per a l'alumnat INTARSE, suport lèxic específic del llenguatge científic (glossari visual bilingüe) i aprofitament del seu bagatge com a valor —l'impacte del canvi climàtic a Llatinoamèrica és un contingut, no un obstacle.
• Contra la desmotivació teòrica: la jornada actua com a producte final autèntic amb audiència real (tota la comunitat educativa), que és el mecanisme més eficaç per a donar sentit a la teoria.

Supòsit pràctic núm. 3 — Equilibri de síntesi del metanol

Qüestió 1 — Fracció molar de metanol en l'equilibri

Enunciat

Per a la reacció $\ce{CO(g) + 2 H2(g) <=> CH3OH(g)}$, si s'introdueix una mescla de CO i $\ce{H2}$ en proporcions estequiomètriques, calcular: a) la fracció molar del metanol en l'equilibri, a 1 atm i 298,15 K; b) el valor de $K_c$ serà major que el de $K_p$?

Dades: $\Delta G^\circ_{\ce{CH3OH}(g)} = -162{,}51\ \mathrm{kJ/mol}$; $\Delta G^\circ_{\ce{CO}(g)} = -137{,}28\ \mathrm{kJ/mol}$; $R = 8{,}31\ \mathrm{J/(mol\,K)}$.

Solució

a) Primer la constant, a partir de l'energia lliure estàndard de reacció:

$$\Delta G^\circ = -162{,}51 - (-137{,}28) - 2(0) = -25{,}23\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$$ $$K_p = e^{-\Delta G^\circ/RT} = e^{25230/(8{,}31\cdot 298{,}15)} = e^{10{,}18} = 2{,}65\cdot 10^{4}$$

Com que la mescla parteix estequiomètrica, CO i $\ce{H2}$ romanen en relació 1:2 en tot moment. Si $\chi$ és la fracció molar de metanol, $\chi_{\ce{CO}} = (1-\chi)/3$ i $\chi_{\ce{H2}} = 2(1-\chi)/3$, i amb $P = 1\ \mathrm{atm}$ les pressions parcials coincideixen amb les fraccions:

$$K_p = \frac{\chi}{\dfrac{1-\chi}{3}\left(\dfrac{2(1-\chi)}{3}\right)^2} = \frac{27\,\chi}{4(1-\chi)^3}$$ $$\frac{27\,\chi}{4(1-\chi)^3} = 2{,}65\cdot 10^{4} \;\Longrightarrow\; \boxed{\chi_{\ce{CH3OH}} = 0{,}938}$$

A temperatura ambient l'equilibri està molt desplaçat cap al metanol: quasi el 94 % de les molècules. El problema industrial no és termodinàmic sinó cinètic —a 298 K la reacció és inobservablement lenta—, i en pujar la temperatura per a accelerar-la es perd rendiment, com quantifica la qüestió següent.

b) Amb $\Delta n = 1 - 3 = -2$:

$$K_c = K_p\,(RT)^{-\Delta n} = K_p (RT)^{2} = 2{,}65\cdot 10^{4}\cdot(0{,}0821\cdot 298{,}15)^2 = 1{,}59\cdot 10^{7}$$

Sí, $K_c > K_p$. La raó general: com que $\Delta n < 0$ i $RT > 1$ en les unitats habituals (L·atm/mol), el factor $(RT)^{2}$ amplifica el valor. És un bon recordatori que $K_p$ i $K_c$ només coincideixen quan $\Delta n = 0$, i que les seues unitats són distintes.

Qüestió 2 — Temperatura per a una fracció molar de 0,50

Enunciat

a) A quina temperatura la fracció molar del metanol en l'equilibri serà igual a 0,50 si la pressió és d'1 atm? Suposar vàlida l'equació de Van't Hoff. b) Una disminució de la temperatura suposarà un augment de les constants d'equilibri?

Dades: $\Delta H^\circ_{\ce{CH3OH}(g)} = -200{,}66\ \mathrm{kJ/mol}$; $\Delta H^\circ_{\ce{CO}(g)} = -110{,}52\ \mathrm{kJ/mol}$.

Solució

a) Amb la mateixa relació de l'apartat anterior, la constant que correspon a $\chi = 0{,}50$ és

$$K_2 = \frac{27(0{,}50)}{4(0{,}50)^3} = 27$$

i l'entalpia de reacció val

$$\Delta H^\circ = -200{,}66 - (-110{,}52) = -90{,}14\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$$

Aplicant Van't Hoff entre $T_1 = 298{,}15\ \mathrm{K}$ (amb $K_1 = 2{,}65\cdot 10^{4}$) i $T_2$:

$$\ln\frac{K_2}{K_1} = -\frac{\Delta H^\circ}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right) \;\Longrightarrow\; \ln\frac{27}{2{,}65\cdot 10^{4}} = -6{,}89 = \frac{90140}{8{,}31}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)$$ $$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{298{,}15} - 6{,}35\cdot 10^{-4} = 2{,}719\cdot 10^{-3} \;\Longrightarrow\; \boxed{T_2 = 368\ \mathrm{K} = 94{,}6\ ^\circ\mathrm{C}}$$

Comprovació de coherència, imprescindible ací perquè és on es colen els errors de signe: la reacció és exotèrmica, així que pujar la temperatura ha de reduir $K$ i amb ella el rendiment; en efecte, $T_2 > T_1$ i $\chi$ ha baixat de 0,938 a 0,50. Recalculant $K$ a 368 K amb la mateixa equació es recupera exactament 27.

b) Sí. En ser $\Delta H^\circ < 0$ (exotèrmica), una disminució de temperatura augmenta les constants d'equilibri i desplaça l'equilibri cap al metanol. És la lectura quantitativa del principi de Le Châtelier: baixant $T$ el sistema respon afavorint la reacció que desprén calor. En la pràctica industrial això es tradueix a treballar a la temperatura més baixa que permeta el catalitzador (uns 250 ºC amb $\ce{Cu/ZnO/Al2O3}$) i compensar la pèrdua de rendiment amb pressions de 50-100 atm, que per Le Châtelier també afavoreixen el costat de menys mols de gas.

Intervenció didàctica (orientació)

Context: IES d'extraradi, alumnat també de zones de renda alta de municipis confrontants. Xarxa InnovAS (eix STEAM) i capacitació digital; sí que hi ha laboratori i aules de informàtica. Grup de 4t d'ESO de 28 estudiants, amb un alumne TDAH, 12 amb poca destresa matemàtica, quatre amb actituds disruptives i una estudiant INTARSE; grup desmotivat cap a la teoria i amb nivells molt dispars. Es demana un projecte interdisciplinari partint del text sobre metanol verd (biometanol i e-metanol), per a treballar els Blocs I («Destreses científiques bàsiques») i III («El canvi»), amb les matèries de Física i Química, Biologia i Geologia i Digitalització (3 h setmanals cadascuna), orientat a productes que impliquen les altres àrees i connecten amb els ODS 3, 7, 9 i 13.

Claus d'una bona resposta:

• Interdisciplinarietat real, amb repartiment explícit: en Física i Química, l'electròlisi de l'aigua (pràctica de laboratori directament connectada amb l'hidrogen verd) i l'estequiometria de la síntesi; en Biologia i Geologia, la biomassa i els cicles del carboni; en Digitalització, el tractament de dades i la producció del material de difusió. Convé fixar què avalua cada matèria perquè no siga un projecte d'una assignatura amb adorns.
• Aprofitar que hi ha laboratori: és la diferència amb el supòsit 1, i l'enunciat ho menciona a propòsit. L'electròlisi de l'aigua amb una font i elèctrodes de grafit és barata, visual i permet mesurar volums en relació 2:1, connectant amb el Bloc I.
• Els 12 amb poca destresa matemàtica condicionen el disseny: cal graduar el càlcul (proporcions i factors de conversió abans que equacions), usar fulls de càlcul per a descarregar la càrrega aritmètica i prioritzar la interpretació sobre la manipulació algebraica.
• TDAH i conductes disruptives: tasques segmentades amb fites curtes i visibles, rol rotatori amb responsabilitat concreta, i reforç positiu freqüent. El treball experimental és un bon aliat motivacional, però exigeix normes de laboratori explícites i pautades.
• ODS com a marc avaluable, no decoratiu: demanar que cada producte final justifique amb quin ODS concret es relaciona i amb quina evidència.

Comentari global de l'exercici

Canàries planteja un model fortament contextualitzat: cada supòsit arranca d'un problema real de l'arxipèlag (l'accés a la PET, la dependència del gasoil, el metanol verd) i exigeix resoldre qüestions de física i química i dissenyar la intervenció didàctica en una aula descrita amb molt de detall. Tres claus:

1. El context no és decorat, és enunciat. Que un centre tinga o no laboratori, que hi haja una sessió en línia obligatòria o que hi haja dotze estudiants amb poca destresa matemàtica són restriccions de disseny: una proposta genèrica que no les use perd la major part de la nota.
2. Les qüestions es recolzen les unes en les altres. El 80 % d'activitat perduda del supòsit 1 i els 2,7 Mt de $\ce{CO2}$ del supòsit 2 són, a més de resultats numèrics, l'ancoratge de la proposta didàctica corresponent. Reutilitzar-los explícitament és la forma més econòmica de donar coherència a la resposta.
3. Compte amb els signes en Van't Hoff. En el supòsit 3 és fàcil obtindre una temperatura per davall de l'ambient; la comprovació de coherència (exotèrmica ⟹ més temperatura, menys rendiment) detecta l'error en deu segons.