Supuesto 11

Un supuesto de laboratorio centrado en una práctica clásica —la determinación de la aceleración de la gravedad con un péndulo simple— que sirve para trabajar la relación entre periodo y longitud, la propagación de incertidumbres y el diseño experimental (por qué se cronometran varias oscilaciones y por qué el ángulo debe ser pequeño).

Enunciado

Para determinar la aceleración de la gravedad $g$ en el laboratorio se monta un péndulo simple de longitud $L = 1{,}000\ \mathrm{m}$, medida con una cinta de resolución $\pm 0{,}001\ \mathrm{m}$. Se separa un ángulo pequeño y se cronometra el tiempo de 10 oscilaciones completas, obteniéndose $t = 20{,}1\ \mathrm{s}$ con un cronómetro de resolución $\pm 0{,}1\ \mathrm{s}$. Se pide:

• a) El valor de $g$ obtenido.
• b) La incertidumbre de $g$ por propagación de errores y el resultado final.
• c) Justificar por qué se cronometran 10 oscilaciones en lugar de una, y por qué el ángulo de separación debe ser pequeño.

Resolución

a) Valor de g

El periodo de un péndulo simple en la aproximación de pequeñas oscilaciones es $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. El periodo se obtiene dividiendo el tiempo total entre el número de oscilaciones:

Despejando $g$ de la expresión del periodo:

b) Propagación de errores

Como $g$ depende de $L$ y de $T$ mediante productos y potencias, los errores relativos se suman ponderados por los exponentes. De $g \propto L\,T^{-2}$:

El error relativo del periodo es el del tiempo total (dividir entre 10 no cambia el error relativo): $\Delta T/T = \Delta t/t = 0{,}1/20{,}1 = 0{,}0050$. Y $\Delta L/L = 0{,}001/1{,}000 = 0{,}0010$:

El resultado se expresa con la incertidumbre y el número correcto de cifras significativas:

El valor de referencia $9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ queda dentro del intervalo, así que la medida es compatible con el valor esperado.

c) Diseño experimental

Se cronometran 10 oscilaciones para reducir el peso del error del cronómetro: el error de reacción al pulsar (unas décimas de segundo) es fijo, así que al repartirlo entre 10 periodos su efecto relativo se divide por 10. El ángulo pequeño ($\lesssim 10^\circ$) es necesario porque solo entonces es válida la aproximación $\sin\theta \approx \theta$ que conduce a $T = 2\pi\sqrt{L/g}$; con amplitudes grandes el periodo aumenta y la fórmula deja de ser aplicable.

Comentario didáctico

Esta práctica es un excelente vehículo para enseñar tratamiento de datos experimentales, un saber transversal del currículo. Más allá del número, lo formativo es: expresar el resultado como valor ± incertidumbre con cifras significativas coherentes; reconocer qué magnitud domina el error (aquí el tiempo, por el exponente 2 y por la resolución del cronómetro frente a la reacción humana); y comprender que el diseño experimental —promediar oscilaciones, mantener ángulos pequeños— se justifica físicamente, no por costumbre. Una extensión natural es repetir la medida variando $L$ y representar $T^2$ frente a $L$: la pendiente $4\pi^2/g$ permite obtener $g$ por regresión, con menos peso de los errores puntuales. Se conecta con el Tema 75 (trabajo experimental en el área de ciencias).