Supuesto 1

Toda medida experimental lleva asociada una incertidumbre: ninguna magnitud se conoce con infinitas cifras. Esta práctica de laboratorio determina la densidad de un sólido a partir de medidas directas y, sobre todo, enseña a tratar una serie de datos —media, dispersión, error absoluto y relativo—, a propagar la incertidumbre hasta la magnitud final y a expresar el resultado con el número correcto de cifras significativas.

Enunciado

En una sesión de laboratorio de Física y Química se desea determinar la densidad de un cilindro metálico macizo y expresar el resultado con su incertidumbre. Se dispone del siguiente material e instrumentos:

• Un calibre (pie de rey) de resolución $0{,}05\ \mathrm{mm}$.
• Una balanza digital de resolución $0{,}01\ \mathrm{g}$.
• El cilindro metálico problema.

Se pide:

• a) A partir de una serie de seis medidas del diámetro, calcular la media, la desviación típica y la incertidumbre asociada al valor medio.
• b) Combinar la dispersión estadística con el error del instrumento y expresar el diámetro con su error absoluto y relativo.
• c) Propagar las incertidumbres de masa, diámetro y altura hasta la densidad.
• d) Escribir el resultado final de la densidad con las cifras significativas correctas.

Desarrollo

Fundamento teórico

La densidad es una magnitud derivada, $\rho = m/V$. Para un cilindro de diámetro $D$ y altura $h$,

Como $D$ interviene al cuadrado, un pequeño error relativo en el diámetro pesa el doble en el de la densidad; por eso conviene medirlo con cuidado y repetir la medida.

Cuando una magnitud se mide $n$ veces, el mejor estimador es la media aritmética y la dispersión de los datos se cuantifica con la desviación típica muestral:

La incertidumbre del valor medio (error estadístico) disminuye con el número de medidas según $s_{\bar{D}} = s/\sqrt{n}$. A ella hay que sumar, de forma cuadrática, el error del propio instrumento $u_{\text{inst}}$:

Montaje y procedimiento

1. Se mide la masa del cilindro en la balanza, anotando la resolución como error.
2. Se mide el diámetro seis veces, girando el cilindro y cambiando de posición para promediar irregularidades y evitar el error de paralaje.
3. Se mide la altura con el mismo calibre.
4. Se calculan la media y la dispersión del diámetro, se propagan los errores y se expresa la densidad final.

Tratamiento de datos y errores

a) Serie de medidas del diámetro. Las seis lecturas (en $\mathrm{mm}$) son: 12,45; 12,50; 12,40; 12,55; 12,45; 12,45. La media vale

y la desviación típica muestral, a partir de $\sum (D_i-\bar{D})^2 = 0{,}01333\ \mathrm{mm^2}$,

b) Incertidumbre y error relativo del diámetro. El error del calibre es $u_{\text{inst}} = 0{,}05\ \mathrm{mm}$. Combinado con la dispersión estadística:

Domina el error del instrumento frente al estadístico. El diámetro se expresa entonces como $D = (12{,}47 \pm 0{,}05)\ \mathrm{mm}$, con un error relativo

c) Propagación a la densidad. La masa medida es $m = (35{,}20 \pm 0{,}01)\ \mathrm{g}$ y la altura $h = (40{,}00 \pm 0{,}05)\ \mathrm{mm}$. Como $\rho = 4m/(\pi D^2 h)$ es un producto de potencias, los errores relativos se suman (cota máxima), duplicando el del diámetro por el exponente 2:

Se aprecia que el diámetro aporta casi toda la incertidumbre. El valor central de la densidad, con $D = 1{,}247\ \mathrm{cm}$ y $h = 4{,}000\ \mathrm{cm}$, es

de modo que la incertidumbre absoluta es $u(\rho) = 0{,}0095 \times 7{,}209 = 0{,}069\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$.

d) Expresión final. La incertidumbre se redondea a una cifra significativa ($0{,}07$) y el valor central se ajusta a la misma posición decimal:

Sería incorrecto escribir $\rho = 7{,}209\,3\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$: esas últimas cifras no tienen significado físico, pues la incertidumbre afecta ya a las centésimas.

Comentario didáctico

Este supuesto es idóneo para el bloque de metodología científica de $1.^{\text{o}}$ de Bachillerato de Física y Química, y una versión simplificada (sin desviación típica, solo error del instrumento) encaja en $4.^{\text{o}}$ de ESO. Desarrolla la competencia matemática y la competencia STEM en su dimensión de indagación: medir, estimar la incertidumbre y comunicar el resultado con honestidad.

Conviene distinguir con claridad precisión (dispersión pequeña, medidas reproducibles) de exactitud (proximidad al valor verdadero): una serie muy agrupada puede estar sesgada por un mal calibrado del cero del calibre. Entre los errores típicos del alumnado destacan: dar demasiadas cifras significativas creyendo que así el resultado es “más exacto”; confundir el error absoluto con el relativo; olvidar que en un producto los errores relativos se suman y que un exponente multiplica; y no repetir las medidas, renunciando así a estimar la dispersión. Como precaución experimental, medir el diámetro en varias posiciones y comprobar el cero del instrumento antes de empezar evita sesgos sistemáticos que ningún tratamiento estadístico posterior podría corregir.