Supuesto 9

Un supuesto de electrostática que reúne las dos magnitudes que describen el campo creado por cargas puntuales —el vector campo eléctrico y el potencial, escalar— y prolonga el análisis hacia el condensador plano. Permite contrastar el carácter vectorial del campo con el carácter aditivo algebraico del potencial y cerrar con el almacenamiento de energía electrostática.

Enunciado

Dos cargas puntuales están fijas en el vacío: $q_1 = +4{,}0\ \mu\mathrm{C}$ en el punto A y $q_2 = -3{,}0\ \mu\mathrm{C}$ en el punto B, separadas una distancia $AB = 0{,}50\ \mathrm{m}$. Un punto P dista $r_1 = 0{,}30\ \mathrm{m}$ de A y $r_2 = 0{,}40\ \mathrm{m}$ de B. Tómese la constante de Coulomb $k = 9{,}0\times10^9\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

Por separado, un condensador plano tiene placas de área $A = 0{,}25\ \mathrm{m^2}$ separadas $d = 1{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{m}$ con aire entre ellas ($\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}$) y se conecta a una diferencia de potencial $V = 120\ \mathrm{V}$.

Se pide:

• a) El campo eléctrico resultante en P (módulo y dirección).
• b) El potencial eléctrico en P.
• c) La energía potencial de una carga $q_0 = +2{,}0\ \mu\mathrm{C}$ situada en P.
• d) La capacidad del condensador y la carga que almacena.
• e) La energía almacenada en el condensador, comprobada por dos vías alternativas.

Resolución

a) Campo eléctrico en P

El campo de una carga puntual tiene módulo $E = k\,|q|/r^2$ y dirección radial: saliente si la carga es positiva, entrante si es negativa.

dirigido de A hacia P (sale de la carga positiva), y

dirigido de P hacia B (entra en la carga negativa). Como $r_1^2 + r_2^2 = 0{,}09 + 0{,}16 = 0{,}25 = AB^2$, el triángulo es rectángulo en P; por tanto $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ son perpendiculares y el módulo resultante se obtiene por Pitágoras:

El vector resultante forma un ángulo $\alpha = \arctan\!\left(E_2/E_1\right) = 22{,}9^\circ$ con la dirección de $\vec{E}_1$, girado hacia el lado de la carga negativa.

b) Potencial eléctrico en P

El potencial es una magnitud escalar; las contribuciones se suman con su signo:

Aunque el campo exige una suma vectorial, el potencial solo requiere una suma algebraica. La contribución negativa de $q_2$ resta, pero la carga positiva es mayor y está más próxima, de modo que $V_P > 0$.

c) Energía potencial de una carga en P

Al situar la carga de prueba $q_0 = +2{,}0\ \mu\mathrm{C}$ en P, su energía potencial electrostática es el producto de la carga por el potencial del punto:

Este valor coincide con el trabajo que un agente externo debe realizar para traer la carga desde el infinito (donde $V = 0$) hasta P sin variar su energía cinética. Como $U > 0$, se requiere aportar trabajo: la carga tendería a alejarse si se liberase.

d) Condensador plano: capacidad y carga

Para placas paralelas separadas por aire, la capacidad depende solo de la geometría y de la permitividad:

Conectado a $V = 120\ \mathrm{V}$, adquiere una carga

e) Energía almacenada

La energía electrostática del condensador se calcula directamente con

Comprobación cruzada. Las expresiones equivalentes de la energía deben coincidir. Usando $Q = CV$:

Y a través de la densidad de energía del campo, con $E_{\text{cond}} = V/d = 1{,}2\times10^5\ \mathrm{N\,C^{-1}}$ y volumen $A\,d$:

Los tres caminos coinciden, lo que valida el cálculo. Además, el campo $1{,}2\times10^5\ \mathrm{N\,C^{-1}}$ queda muy por debajo de la rigidez dieléctrica del aire ($\approx 3\times10^6\ \mathrm{N\,C^{-1}}$), de modo que el condensador opera sin riesgo de descarga: el orden de magnitud es físicamente razonable.

Comentario didáctico

Este supuesto conecta con el Tema 19 del temario (interacción electrostática, campo y potencial) y sirve de puente hacia el condensador. Su mayor valor en el aula es evidenciar dos contrastes clave: (1) el campo eléctrico es vectorial —hay que sumar $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ atendiendo a su dirección, aquí facilitada por la perpendicularidad del triángulo rectángulo—, mientras que el potencial es escalar y solo exige una suma con signo; y (2) la relación $U = q_0 V$ enlaza el potencial con la energía potencial y, ya en el condensador, con la energía almacenada $U_C = \tfrac{1}{2}CV^2$. La triple comprobación de la energía —vía tensión, vía carga y vía densidad de energía del campo— muestra al opositor cómo articular una verificación interna del resultado y propone al alumnado la comprobación cruzada como hábito de autoevaluación. Conviene insistir en las unidades del SI y en el orden de magnitud como filtros de coherencia antes de dar un resultado por bueno.