Supuesto 8

Un supuesto que integra la descripción de una onda armónica —lectura de su ecuación y extracción de todas sus magnitudes— con el efecto Doppler, uno de los fenómenos ondulatorios de mayor rendimiento didáctico. Permite además desmontar una concepción alternativa muy frecuente: confundir la velocidad de propagación de la onda con la velocidad de vibración de un punto del medio.

Enunciado

Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda tensa y su elongación viene dada, en unidades del SI, por

Más adelante se considera una segunda situación, independiente de la anterior: un foco sonoro (la sirena de un vehículo) emite un tono puro de frecuencia $f_0 = 680\ \mathrm{Hz}$ y el sonido se propaga por el aire con velocidad $v = 340\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

Se pide:

• a) Amplitud, periodo, frecuencia, número de onda, longitud de onda, velocidad de propagación y sentido de avance de la onda de la cuerda.
• b) La velocidad y la aceleración máximas con que oscila un punto de la cuerda, y su comparación con la velocidad de propagación.
• c) La frecuencia que percibe un observador en reposo cuando el foco sonoro se acerca a él a $34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.
• d) La frecuencia percibida cuando el foco se aleja a esa misma rapidez, y su comparación con el caso en que es el observador quien se acerca al foco (en reposo) a $34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Discutir la asimetría foco–observador.

Resolución

a) Características de la onda armónica

Comparando la ecuación dada con la forma general $y = A\sin(\omega t - kx)$ se leen de forma directa la amplitud, la pulsación y el número de onda:

De ahí se obtienen las magnitudes derivadas:

El argumento tiene la forma $(\omega t - kx)$, con signos opuestos para $t$ y $x$, de modo que la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$.

Comprobación cruzada. La velocidad de propagación debe cumplir $v = \lambda f$: $0{,}40\cdot 10 = 4{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, en acuerdo con el valor obtenido como $\omega/k$.

b) Velocidad y aceleración de un punto del medio

Cada punto de la cuerda ejecuta un movimiento armónico simple perpendicular al de propagación. Derivando la elongación respecto al tiempo:

Los valores máximos (cuando el coseno o el seno valen la unidad) son:

Conviene subrayar que $v_{y,\text{max}} = 2{,}5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ no es la velocidad de propagación $v = 4{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: la primera describe cómo sube y baja un punto fijo de la cuerda; la segunda, cómo se traslada la perturbación. Su cociente coincide con la pendiente máxima del perfil, $v_{y,\text{max}}/v = Ak = 0{,}040\cdot 5\pi = 0{,}63$, coherente con una onda de amplitud pequeña frente a la longitud de onda.

c) Efecto Doppler: foco que se acerca

Con el foco y el observador alineados, la frecuencia percibida se obtiene de la expresión general

donde $v_O$ y $v_F$ son las rapideces del observador y del foco, y los signos se eligen de modo que un acercamiento aumente la frecuencia. Con el observador en reposo ($v_O = 0$) y el foco acercándose ($v_F = 34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, signo menos en el denominador):

La frecuencia sube, como corresponde a un foco que se aproxima (las ondas llegan “comprimidas”). El incremento relativo es $v_F/(v - v_F) = 34/306 = 0{,}111$, es decir, un $11{,}1\ \%$, un orden de magnitud razonable para una rapidez del foco igual al $10\ \%$ de la del sonido.

d) Foco que se aleja y comparación con el observador móvil

Si el foco se aleja del observador en reposo, el signo del denominador se invierte:

Consideremos ahora la situación recíproca: foco en reposo y observador que se acerca a $v_O = 34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (signo más en el numerador):

Aunque la rapidez relativa de aproximación es la misma ($34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$), los resultados difieren: $755{,}6\ \mathrm{Hz}$ con el foco en movimiento frente a $748{,}0\ \mathrm{Hz}$ con el observador en movimiento. El efecto Doppler para ondas mecánicas no es simétrico porque el medio (el aire) define un sistema de referencia privilegiado: cuando se mueve el foco cambia la longitud de onda emitida, mientras que cuando se mueve el observador solo cambia el ritmo con que este cruza frentes de onda de $\lambda$ inalterada. Numéricamente, el desplazamiento vale $v_F/(v - v_F) = 11{,}1\ \%$ en un caso y $v_O/v = 10{,}0\ \%$ en el otro, lo que explica la pequeña diferencia.

Comentario didáctico

El supuesto recorre por completo el Tema 18 (movimiento ondulatorio): desde la interpretación de la ecuación de una onda armónica hasta un fenómeno de propagación como el efecto Doppler. Los apartados a) y b) son idóneos para fijar la distinción, no siempre bien asimilada, entre la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de oscilación del medio, error conceptual muy común en Bachillerato. El bloque Doppler tiene, además, un fuerte valor motivador por sus aplicaciones —radar de tráfico, ecografía Doppler, corrimiento al rojo en astrofísica— y permite introducir la idea de sistema de referencia del medio al justificar la asimetría foco–observador. Como estrategia de aula, conviene resolver el Doppler en dos vías: la fórmula general con su criterio de signos y el razonamiento cualitativo sobre frentes de onda comprimidos o dilatados, de modo que el alumnado disponga de una comprobación de sentido físico antes de aceptar cualquier número.