Supuesto 3

Un supuesto de dinámica del sólido rígido que integra el momento de una fuerza, la ecuación fundamental de la rotación $\tau = I\alpha$ y la conservación de la energía. Su interés radica en mostrar que, cuando la polea tiene masa apreciable, las tensiones a ambos lados de la cuerda dejan de ser iguales: es precisamente esa diferencia la que proporciona el par que hace girar la polea.

Enunciado

Dos bloques de masas $m_1 = 4{,}0\ \mathrm{kg}$ y $m_2 = 2{,}0\ \mathrm{kg}$ están unidos por una cuerda inextensible y de masa despreciable que pasa por una polea. La polea se modela como un disco homogéneo de masa $M = 2{,}0\ \mathrm{kg}$ y radio $R = 0{,}10\ \mathrm{m}$, que gira sin fricción en su eje. La cuerda no desliza sobre la polea. El sistema se libera desde el reposo. Tómese $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

Se pide:

• a) El momento de inercia de la polea respecto a su eje de giro.
• b) La aceleración lineal de las masas y la aceleración angular de la polea.
• c) Las tensiones $T_1$ y $T_2$ en cada tramo de la cuerda, y por qué no coinciden.
• d) La velocidad de las masas cuando $m_1$ ha descendido $h = 1{,}5\ \mathrm{m}$. Comprobar el resultado mediante un balance de energía.

Resolución

a) Momento de inercia de la polea

Para un disco homogéneo que gira alrededor de su eje de simetría:

Conviene retener la combinación $I/R^2 = \tfrac{1}{2}M = 1{,}0\ \mathrm{kg}$, que actúa como una masa equivalente de la polea en la dinámica traslacional del sistema.

b) Aceleraciones lineal y angular

Como la cuerda no desliza, todos los puntos del sistema comparten el mismo módulo de aceleración lineal $a$, ligado a la aceleración angular por $a = \alpha R$. Escribimos la segunda ley de Newton para cada bloque (con $m_1$ descendiendo) y la ecuación de la rotación para la polea:

Sustituyendo $\alpha = a/R$ en la última, resulta $T_1 - T_2 = I\,a/R^2$. Sumando las tres ecuaciones se cancelan las tensiones:

La aceleración es menor que la del Atwood ideal ($a_\text{ideal} = 3{,}27\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ con polea sin masa), como cabía esperar: la inercia de la polea frena el conjunto.

c) Tensiones a ambos lados

Despejando cada tensión de la segunda ley de Newton de cada bloque:

Las tensiones no coinciden porque la polea tiene masa: la cuerda debe ejercer sobre ella un par neto para acelerarla angularmente. Ese par es justamente el que producen las tensiones desiguales:

La coincidencia confirma la coherencia interna del sistema de ecuaciones. En el límite de polea ideal ($I \to 0$) recuperaríamos $T_1 = T_2$.

d) Velocidad tras descender $h$ y balance de energía

Partiendo del reposo con aceleración constante, aplicamos $v^2 = 2ah$:

y la velocidad angular de la polea es $\omega = v/R = 29{,}0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$.

Comprobación por balance de energía. No hay rozamiento, así que la energía mecánica se conserva. Al descender $m_1$ una altura $h$, $m_2$ asciende la misma $h$; la energía potencial neta liberada se reparte entre la energía cinética de traslación de ambos bloques y la de rotación de la polea:

El primer miembro vale:

Y el segundo, con $v^2 = 8{,}4\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}$ y $\omega^2 = 840\ \mathrm{rad^2\,s^{-2}}$:

Ambos miembros coinciden, lo que valida los cálculos. Nótese que la polea se lleva $4{,}2\ \mathrm{J}$ de energía cinética rotacional: despreciarla habría falseado el balance.

Comentario didáctico

Este supuesto enlaza la dinámica de rotación del sólido rígido (Tema 6) con el trabajo y la energía (Tema 9). Su mayor valor en el aula es corregir dos concepciones alternativas muy extendidas: creer que la tensión de una cuerda es la misma a ambos lados de cualquier polea —cierto solo si la polea carece de masa— y olvidar el término rotacional $\tfrac{1}{2}I\omega^2$ en los balances energéticos. La doble vía de resolución, dinámica y energética, permite al opositor exhibir dominio de ambos formalismos y proponer al alumnado la comprobación cruzada como hábito de autoevaluación. La introducción de la masa equivalente $I/R^2$ es, además, un recurso elegante para conectar la magnitud rotacional con la intuición traslacional del estudiante.