Supuesto 5

Un supuesto de convocatoria real que encadena tres bloques de la mecánica en un único enunciado: la dinámica de traslación y rotación acopladas por una polea con masa, y a continuación un movimiento frenado por el empuje dentro de un líquido. Es un ejemplo excelente de cómo un tribunal integra rotación y fluidos, y de cómo ciertos datos son deliberadamente distractores.

Enunciado

Un cuerpo de $0{,}445\ \mathrm{kg}$ está suspendido de una cuerda que pasa por la garganta de una polea de $2{,}92\ \mathrm{kg}$ y radio $0{,}152\ \mathrm{m}$. Se deja el sistema en libertad y comienza a moverse. Se pide:

• a) La aceleración con la que desciende el cuerpo.
• b) La tensión de la cuerda durante el movimiento.
• c) En el descenso se rompe la cuerda y el cuerpo (de densidad $8\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$) cae sobre un depósito que contiene un líquido de densidad $13{,}6\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$. Si la velocidad del cuerpo al entrar en contacto con el líquido es de $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, calcular la profundidad que alcanzará en el depósito.

Datos: $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$. Modelícese la polea como un disco macizo homogéneo.

Resolución

a) Aceleración

Hay que plantear dos ecuaciones —traslación del cuerpo y rotación de la polea— ligadas por la condición de que la cuerda no desliza, $a = \alpha R$. Con $I = \tfrac{1}{2}MR^2$ para el disco macizo:

Sustituyendo la tensión en la primera ecuación:

Obsérvese que el radio se cancela: solo importa la relación entre la masa que cuelga y la mitad de la masa de la polea. El dato $R = 0{,}152\ \mathrm{m}$ es, en este apartado, un distractor.

b) Tensión de la cuerda

Es menor que el peso ($mg = 4{,}36\ \mathrm{N}$), como debe ser en un descenso acelerado: si fuese igual, no habría aceleración.

c) Profundidad alcanzada en el líquido

La densidad $13{,}6\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$ corresponde al mercurio. Como el cuerpo ($8\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$) es menos denso, terminará flotando, pero entra con $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ y penetra por inercia. Dentro del líquido actúan el peso (hacia abajo) y el empuje (hacia arriba), ambos proporcionales al mismo volumen $V$:

Es una deceleración, porque el empuje supera al peso. Con un movimiento uniformemente retardado hasta detenerse ($v = 0$):

La masa y el volumen desaparecen: solo interviene el cociente de densidades. El resultado —un depósito de mercurio de 29 m— es físicamente inverosímil pero matemáticamente correcto; además se ha despreciado el rozamiento viscoso, que en mercurio sería enorme.

Comentario didáctico

Enunciado de la convocatoria de Galicia 2024. Su valor de aula está en tres ideas. Primera: una polea con masa no transmite la misma tensión a ambos lados ni permite tratar la cuerda como ideal; obliga a escribir la ecuación de rotación y a acoplarla con $a=\alpha R$. Segunda: conviene entrenar al alumnado a detectar datos distractores —aquí el radio en el apartado a) y el volumen en el c)— porque un buen problema rara vez usa todos los datos en todos los apartados. Tercera: el apartado c) es una aplicación directa del principio de Arquímedes combinado con cinemática, y muestra que el signo de $\rho_\ell - \rho_c$ decide si el cuerpo frena o se hunde. Se conecta con el Tema 7 (dinámica de sistemas) y el Tema 10 (estática de fluidos).